專題一、全等三角形
知識整理
1、 全等三角形的判定
公理①：三邊的兩個三角形全等；公理②：兩邊及其夾角的兩個三角形全等；公理的兩個三角形全等；推論的兩個三角形全等。
2、全等三角形的性質公理：全等三角形的對應邊對應角
典例分析
例1、（2023年吉林）如圖1，在△abc中，∠acb=90°，ac=ｂｃ，ce⊥be，ce與ab相交於點f，ad⊥cf，垂足為d，且ad平分∠fac，請寫出圖中的兩對全等三角形，並選擇其中一對加以證明。
例2、已知：如圖，d是△abc中bc邊上一點，eb=ec，∠abe=∠ace，
求證：∠bae=∠cae.(兩種方法)
專題二、等腰三角形
知識整理
1、等腰三角形的性質：（1）定理：等腰三角形的兩個底角 ，簡稱
（2）推論：等腰三角形的頂角平分線互相重合，簡稱
2、等腰三角形的判定的三角形是等腰三角形，簡稱
3、等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角且每個內角都等於
4、等邊三角形的判定：（1）有乙個角為60°的是等邊三角形；
2）三個角都的三角形是等邊三角形。
典例分析
例1、已知：如圖，ab=ac,d是ab上一點，de⊥bc於點e，ed的延長線交ca的延長線於點f.求證：△adf△是等腰三角形．
例2、如圖，在△abc中，ad⊥bc於d，be⊥ac於e，ad與be相交於f，若bf=ac，求∠abc的度數
例3、 如下圖，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一點（m與a不重合）md⊥bc，交∠bac的平分線於點d，求證：md=ma.
例4、如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，ac=2ab，點d是ac的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與a、d重合，連線be、ec．試猜想線段be和ec的數量及位置關係，並證明你的猜想．
例5、如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
例6、如圖，以等腰直角三角形abc的斜邊ab為邊作等邊△abd，連線dc，以dc為邊作等邊△dce，b、e在c、d的同側，若ab=，求be的長.
例7、如圖1、圖2，△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90，
（1）在圖1中，ac與bd相等嗎？請說明理由（4分）
（2）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達圖2的位置，請問ac與bd還相等嗎？為什麼？（8分）
例8、如圖，在△abc中，ab=ac、d是ab上一點，e是ac延長線上一點，且ce=bd，鏈結de交bc於f。（1）猜想df與ef的大小關係；（2）請證明你的猜想。
例9、已知：如圖，在等邊三角形abc的ac邊上取中點d，bc的延長線上取一點e，使 ce ＝ cd．求證：bd ＝ de．
例10、（2023年寧波）如圖2，在△abc中，ab=ac，∠a=36°，bd，ce分別是△abc，△bcd的角平分線，則圖中的等腰三角形有（ ）
例11、如圖3所示，已知△abc和△dce均是等邊三角形，點b，c，e在同一條直線上，ae與bd交於點o,ae與bd交於點f，連線oc，fg，則下列結論：①ae=bf;②ag=bf；③fg∥be，④∠boc=∠eoc其中正確結論的個數為（ ）
a 、0個；b、1個；c、2個；d、3個
例12、等腰三角形底邊長為7，一腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3，則腰長是（ ）
a、4 b、10 c、4或10 d、以上答案都不對
專題三、線段的垂直平分線和角平分線
知識整理
1、線段垂直平分線定理及其逆定理：線段垂直平分線上的點到的距離相等；到的點在這條線段的垂直平分線上。
2、角平分線的性質定理及其逆定理：角平分線上的點到距離相等；在角的內部，到距離相等的點在這個角的平分線上。
3、三角形的三邊垂直平分線、角平分線的性質定理：三角形的三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這點到三角形的的距離相等；三角形的三個角的平分線相交於一點，這點到三角形的的距離相等；
典例分析：
例1：在△abc中，ab的中垂線de交ac於f，垂足為d，若ac=6，bc=4，求△bcf的周長。
例2：如圖所示，在△abc中，ab=ac，∠bac=1200，d、f分別為ab、ac的中點，，e、g在bc上，bc=15cm，求eg的長度。
例3:：如圖所示，rt△abc中，，d是ab上一點，bd=bc，過d作ab的垂線交ac於點e，cd交be於點f。求證：be垂直平分cd。
例4、如圖3所示，在△abc中，ac=bc，∠c=90°，ad是∠bac的平分線， cd=求bd的長。
例5、如圖19，在中，，ac=bc，ad平分交bc於點d，de⊥ab於點e，若ab=6cm. 你能否求出的周長？若能，請求出；若不能，請說明理由.
例6、（8分）如圖21，在中，，ab=ac，的平分線bd交ac於d，ce⊥bd的延長線於點e.求證：.
例7、（8分）如圖23，，om平分，將直角三角板的頂點p在射線om上移動，兩直角邊分別與oa、ob相交於點c、d，問pc與pd相等嗎？試說明理由.
例8、如圖所示，ab>ac，的平分線與bc的垂直平分線相交於d，作於e，，求證：be=cf。
例9、如圖，△abc中，ad為∠bac的平分線，ad的垂直平分
線ef交bc的延長線於點f，連線af。求證：∠b=∠caf
專題四、直角三角形
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1、 直角三角形的性質和判定
直角三角形的性質：
（1）勾股定理即
（2）直角三角形中，30°角所對的直角邊等於
（3）直角三角形斜邊上的中線等於
直角三角形的判定定理：
（1）逆定理：若乙個三角形中則這個三角形是直角三角形。
（2）如果乙個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是
2、直角三角形的全等和對應相等的兩個直角三角形全等，簡稱「hl」定理。
典例分析：
例1、（2023年菏澤市）如圖1所示，在rr△abc中，∠c=90°，∠a=30°，bd是∠abc的平分線，cd=5cm，求ab的長。
例2 ：如圖2-5所示．在等邊三角形abc中，ae=cd，ad，be交於p點，bq⊥ad於q．求證：bp=2pq．
例3、已知：如上圖，在等邊三角形abc中，d、e分別為bc、ac上的點，且ae＝cd，鏈結ad、be交於點p，作bq⊥ad，垂足為q．求證：bp＝2pq.
例4：如圖，中，，求的長。
例5 ：如圖所示的一塊地，∠adc=90°，ad=12m，cd=9m，ab=39m，bc=36m，求這塊地的面積。
例6：如圖，一架2.5公尺長的梯子ab，斜靠在一豎直的牆ac上，這時梯足b到牆底端c的距離為0.7公尺，如果梯子的頂端沿牆下滑0.4公尺，那麼梯足將向外移多少公尺？
例7、（13分）如圖12，abcd是一張長方形的紙片，摺疊它的一邊ad，使點d落在bc邊上的f點處，已知ab＝8cm，bc＝10cm，那麼ec等於多少？你能證明你的結論嗎？
例9、（2023年綏化市）在rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac=2，以ac為一邊，在△abc外部作等腰直角三角形acd，則線段bd的長為提示：分三種情況）
八年級下冊數學第一章證明二章節複習
專題一 全等三角形 例1 2010年吉林 如圖1，在 abc中，acb 90 ac ce be，ce與ab相交於點f，ad cf，垂足為d，且ad平分 fac，請寫出圖中的兩對全等三角形，並選擇其中一對加以證明。例2 已知 如圖，d是 abc中bc邊上一點，eb ec，abe ace，求證 bae ...
八年級下第一章證明
9 如果rt 兩直角邊的比為5 12，則斜邊上的高與斜邊的比為 a 60 13 b 5 12 c 12 13 d 60 169 10 已知 如圖，abc中，c 90 點o為 abc的三條角平分線的交點，od bc，oe ac，of ab，點d e f分別是垂足，且bc 8cm，ca 6cm，則點o到...
八年級下冊數學第一章第二章總結 北師大
八年級下冊數學總結 第一章一元一次不等式和一元一次不等式組 一 不等關係 1.用符號 或 或 連線的式子叫做不等式。2.非負數 大於等於0 0和正數 不小於0 非正數 小於等於0 0和負數 不大於0 二 不等式基本性質 1 不等式的兩邊加上 或減去 同乙個整式，不等號的方向不變，即，如果a b，那麼...