不等式證明的基本依據·例題
例5-2-1 求證：
(1)若x≠1，則x4+6x2+1＞4x(x2+1)；
(2)若a≠1，b≠1，則a2+b2+ab+3＞3(a+b)；
(3)若a＜b≤0，則a3-b3＜ab2-a2b．
解 (1)採用比差法：
(x4+6x2+1)-4x(x2+1) (作差)
=x4-4x3+6x2-4x+1 (變形)
=(x-1)4＞0 (判斷正負)
所以 x4+6x2+1＞4x(x2+1)
(2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)
所以 a2+b2+ab+3＞3(a+b)
(3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3)
=a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b)
而a＜b≤0，所以a-b＜0，(a+b)2＞0，所以
註用比差法時，常把差變形為乙個偶次方或幾個偶次方的和的形式；有時把它變形為幾個因式的積的形式，以便於判斷其正負．
例5-2-2 若a＞0，b＞0，c＞0，求證：
(1)a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b；
解 (1)由對稱性，不妨設a≥b≥c，那麼，由指數函式的性質，有
三式分邊相乘，得
於是，所以 a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b
(2)不妨設a≥b≥c≥0，那麼由指數函式的性質，有
注不能隨意使用「不妨設」。本例(1)、(2)中採用「不妨設」的合理性在於a，b，c的地位是平等的，即它們具有對稱輪換性。
例5-2-3 求證：
(2)因1＜x＜10，0＜lgx＜1。於是
logx2-(lgx)2=lgx(2-lgx)＞0
又由0＜lgx＜1，知lg(lgx)＜0，所以
lgx2＞(lgx)2＞lg(lgx)
(3)因1＜x＜10，故0＜lgx＜1，從而log2(lgx)＜0。又因為x+
(2)、(3)中引入0和1參予比較。這是不等式證明中的常用手段。
例5-2-4 設a，b∈r，證明：
解 (1)對於a，b∈r，我們有不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
依題設|a|≠|b|，|a-b|≠0，|a+b|≠0，從而由上式可得
注證含絕對值的不等工，關鍵在於合理地利用絕對值的概念及其和、差、積、商的性質。
(2)原不等式等價於
因為|a|＜1，|b|＜1，所以
1+a＞0，1+b＞0，a-1＜0，1-b＞0
又|ab|=|a|·|b|＜1，故1+ab＞0。於是，最後不等式成立，從而原不等式成立。
例5-2-5 證明：
(1)若a＞0，m，n∈n，且m＞n，則
(2)若a＞0，b＞0，n∈n，且n≠1，則
當且僅當a=b時取「=」；
(3)對於n∈n，若α＞-1，則(1+α)n≥1+nα。
解 (1)原不等式可等價地變為
二式分邊相加，得
兩邊n次乘方並化簡，即得
註用均值不等式證題，常常需要按均值不等式的結構把所要證明的不等式適當變形，如拆項、湊項或補湊因子等。(1)中是直接拆項兼湊項，特殊角色「1」起了重要作用。(2)中採用的是區域性入手，整體結合
等式是二元的一般冪平均不等式，應用較為廣泛。
(3)先引進乙個簡單不等式：設f(n)為定義在自然數集n上的函式。易知，若f(n)-f(n-1)≥0(或≤0)對任意大於1的自然數n都成立，則有f(n)≥f(1)(或f(n)≤f(1))。
又當n=1時，原不等式成為等式，故對一切n∈n，都有
(1+α)n≥1+nα
注 (3)中的不等式一般是利用二項式定理或數學歸納法證明。這裡引進乙個簡單不等式給出的簡捷證法，別有風味。讀者不妨仿此證明(2)中的不等式。
例5-2-6 已知a＞0，b＞0，求證：對任意r，s∈r+，若r＞s，則
ar+br≥ar-sbs+asbr-s
當且僅當a=b時取等號。
解因為a，b，r，s∈r+，且r-s＞0，所以由冪函式的單調性可知，as-bs與ar-s-br-s當a＞b時同為正數；當a＜b時同為負數；當a=b時同為零。故總有(as-bs)(ar-s-br-s)≥0。於是
(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s)
=(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br)
=ar-s(as-bs)-br-s(as-bs)
=(as-bs)(ar-s-br-s)≥0
所以 ar+br≥ar-sbs+asbr-s
當且僅當a=b時取等號。
注本例給出的不等式概括了很多不等式，應用較為廣泛。例如不
我們姑且稱它為冪分拆不等式。
高二數學典型例題分析 不等式證明的常用技巧
不等式證明的常用技巧 例題 例5 2 13 求證 2 若a b c 0，d c，ac bd，則a c b d。解 1 因x y z 1，故可設 其中t1 t2 t3 0，於是 2 因a b，d c，故可設a b t1，d c t2，其中t1 0，t2 a c b d a b d c t1 t2 0 ...
高二數學典型例題分析 不等式證明的基本依據
不等式證明的基本依據 例題 例5 2 1 求證 1 若x 1，則x4 6x2 1 4x x2 1 2 若a 1，b 1，則a2 b2 ab 3 3 a b 3 若a b 0，則a3 b3 ab2 a2b 解 1 採用比差法 x4 6x2 1 4x x2 1 作差 x4 4x3 6x2 4x 1 變形...
不等式證明典型例題
例1 已知，求證 證明 當且僅當時等號成立 點評在利用差值比較法證明不等式時，常採用配方的恒等變形，以利用實數的性質 例2 已知均為正數，且兩兩不等，求證.分析由於所證不等式兩端都是冪和積的形式，且為正數，可選用商值比較法.證明為不等正數，不失一般性，設，這時，由指數函式的性質可知 所以.即.例3 ...