▲知識要點→
一、橢圓的定義
到兩個定點的距離之和等於定長（定長大於兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。
即： 二、橢圓的方程。
（1）標準方程：（）或（）（其中，）
（2）一般方程：或
三、橢圓的幾何性質
【易錯點】：對於橢圓定義的把握要明確以下幾點：
（1）沒有「平面內」這個條件，則是橢球而不是橢圓；
（2）到兩定點f1、f2的距離之和為常數，常數必須要大於|f1f2|.
【易忽視點】：對於確定哪種形式的標準方程則要看焦點的位置，若焦點在x軸上則x2的分母大，若焦點在y軸上則y2的分母大.
【常用的思想方法】：方程的思想，解決橢圓問題的實質是確定a,b,c的關係（方程），求a,b,c的方法是列方程組求解；數形結合的思想，充分運用幾何圖形所蘊藏的性質，注意觀察分析。
▲題型方法講解→
（一）橢圓的定義及標準方程
例1、已知△abc的頂點b、c在橢圓＋y2＝1上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc的周長是（ ）
（a）2 （b）6 （c）4 （d）12
【析】通過觀察分析，充分巧妙利用定義（「」）是解決問題的關鍵
例2、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分於七個點，是橢圓的乙個焦點，
則【析】通過觀察分析，利用對稱性並結合定義處理。
例3、如果表示焦點在軸上的橢圓，那麼實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
【析】一般方程→標準化；焦點在y軸上則y2的分母大
例4、已知方程表示橢圓，求的取值範圍。
【析】觀察分析橢圓方程的特徵：x2 和y2的分母均為正，且不相等（若相等即為圓的方程）。
例5、已知＜4，則曲線和有相同的（ ）
a. 長軸和短軸 b. 焦點 c. 離心率 d. 焦距
【析】通過觀察分析，充分把握平方關係「」 是解題的關鍵。
例6、根據下列條件分別求橢圓的標準方程：
（1） 中心在原點，對稱軸為座標軸，離心率為，長軸長為8；
（2） 橢圓經過和
【析】求橢圓標準方程常用待定係數法，若不知道焦點位置，通常設方程為，解題的關鍵是建立方程組。
【變式思考】
1. △abc兩個頂點座標是a（－4，0）、b（4，0），周長是18，則頂點c的軌跡方程
2、已知m為橢圓上一點，為橢圓的乙個焦點，且,n為中點，則的長為
3、已知橢圓，長軸在軸上，若焦距為4，則
4、（2008浙江理12）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓於
a、b兩點.若，則
5、（2009陝西卷文）「」是「方程」表示焦點在y軸上的橢圓」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
6、（2009北京文、理）橢圓的焦點為，點p在橢圓上，若，則 ；的大小為 .
7、（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在座標原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
8、橢圓有乙個光學性質：光線由乙個焦點射出經橢圓壁反射後必然經過另乙個焦點。現有乙個橢圓形的撞球桌，橢圓方程為（），乙個球由該橢圓的乙個焦點處擊出，經桌壁**後又回到起點，則球所走的路程為（ ）
ab.cd.以上結果皆有可能
9、已知橢圓（）的離心率為，且經過
（1）求橢圓的方程
（2）設是橢圓的左焦點，判斷以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關係並說明理由。
10、（2010課標全國）已知為橢圓（）的左右焦點，設過斜率為1的直線與e相較於a、b兩點。且成等差數列
(1)求橢圓的離心率。
(2)設點滿足，求橢圓的方程。
11、（2010安徽理數）19、（本小題滿分13分）
已知橢圓經過點，對稱軸為座標軸，焦點
在軸上，離心率。
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；
(ⅲ)在橢圓上是否存在關於直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。
（二）橢圓的幾何性質的考查
（1）橢圓的幾何性質的靈活運用
例1、在平面直角座標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則
【析】根據標準方程確定a,b,c的值，並結合正弦定理「」
的性質「」即可。
例2、橢圓的兩個焦點為，過作垂直於軸的直線與橢圓相交，乙個交點為p，則等於（ ）
a． b. cd.4
【析】掌握橢圓通徑長並結合橢圓定義即可解決
★★★★（2）離心率的求法
橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法：
求，求，再求比.
數形結合，充分利用圖形蘊藏的數量關係，含和的齊次方程，再化含的方程，
解方程即可.
例1、如圖，直線過橢圓的左焦點f1和乙個頂點b，該橢圓的離心率為
a． b． c． d．
例2、設橢圓的兩個焦點分別為f1、、f2，過f2作橢圓長軸的垂線交橢圓於點p，若△f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是( )
a. b. c. d.
例3、設f1、f2為橢圓的兩個焦點，以f2為圓心作圓f2，已知圓f2經過橢圓的中心，且與橢圓相交於m點，若直線mf1恰與圓f2相切，則該橢圓的離心率e為（ ）
a.－1 b.2cd.
【變式思考】
1、（2010廣東文數）若乙個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是abcd.
2、（2009江西卷理）過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓於
點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（ ）
abc． d
3、已知為橢圓（）的左右焦點，以為邊作正三角形。若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，則橢圓的離心率為（ ）
abcd
4、(2008湖北卷10)如圖所示，「嫦娥一號」探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為乙個焦點的橢圓軌道ⅰ繞月飛行，之後衛星在變點第二次變軌進入仍以月球球心為乙個焦點的橢圓軌道ⅱ繞月飛行，最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道ⅰ和ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道ⅰ和ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
其中正確式子的序號是
abcd. ②④
5、（2008江蘇）在平面直角座標系中，橢圓的焦距為2，以o為
圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率
（3） 焦點三角形面積公式：
例1、 已知橢圓，為橢圓上任一點，，
求證:例2、設是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，
求△的面積。
例3、已知橢圓的焦點為f1、f2，點m在橢圓上且則點m到x軸的距離為（ ）
ab． c． d．
例4、（2023年上海卷理）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則
例5、若點在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是（ ）
a. 2b. 1cd.
例6、如圖，f1，f2分別為橢圓的左、右焦點，點p在橢圓上，△pof2是面積為的正三角形，則b2的值是
(4)有關大小討論的問題
例1、橢圓的焦點、，點為其上的動點，則使得的點的個數為（ ）
a. 0b.1c. 2 d. 4
例2、橢圓的焦點、，點為其上的動點，當∠為鈍角時,點橫座標的取值範圍是
例3、已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.求橢圓離心率的取值範圍。
例4、設p是橢圓（a＞b＞0）上的一點，f1、f2是橢圓的焦點，且∠f1pf2=90°，求證：橢圓的率心率e≥
例5、（2008江西文、理科7）已知f1、f2是橢圓的兩個焦點．滿足·＝0的點m總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值範圍是
a．(0，1b．(0c．(0d．[，1)
（三）點、線與橢圓的位置關係
（1）位置關係的討論問題
▲點與橢圓的位置關係：
在橢圓上。
在橢圓外。
在橢圓內。
▲研究直線與橢圓位置關係的問題往往轉化為研究方程解得問題，要回根據韋達定理和判別式解決問題。
例1、當為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？
例2、已知以f1（2,0），f2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有乙個交點，則橢圓的長軸長為 （ ）
abcd.
例3、直線與橢圓恒有公共點，則b的取值範圍是（ ）
橢圓題型總結
1.命題甲 動點到兩點的距離之和命題乙 的軌跡是以a b為焦點的橢圓，則命題甲是命題乙的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分又不必要條件 2.已知 是兩個定點，且,若動點滿足則動點的軌跡是 a.橢圓 b.圓 c.直線 d.線段 3.已知 是橢圓的兩個焦點,是橢圓上的乙...
橢圓題型總結
橢圓的定義和方程問題 定義 pa pb 2a 2c 1.命題甲 動點到兩點的距離之和命題乙 的軌跡是以a b為焦點的橢圓，則命題甲是命題乙的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分又不必要條件 2.已知 是兩個定點，且,若動點滿足則動點的軌跡是 a.橢圓 b.圓 c.直線...
橢圓知識點及題型
專題七 橢圓標準方程及其性質知識點大全 一 橢圓的定義及橢圓的標準方程 橢圓定義 平面內乙個動點到兩個定點 的距離之和等於常數,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意 若，則動點的軌跡為線段 若，則動點的軌跡無圖形 二 橢圓的簡單幾何性 標準方程是指中心在原點...