2008整理——推理與證明
解答題：
1、（08安徽）設數列滿足為實數
（ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（ⅱ）設，證明：;
（ⅲ）設，證明：
2、（08全國ⅰ）設函式．數列滿足，．
（ⅰ）證明：函式在區間是增函式；
（ⅱ）證明：；
（ⅲ）設，整數．證明：．
3、（08浙江）已知數列，，，．記．．
求證：當時，
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）。
選擇題：
1、（08山東）（加粗
填空題：
1、（08山東）（加粗
解答題：
1、解：（ⅰ）必要性 ： ，
又，即充分性 ：設，對用數學歸納法證明
當時，.假設
則，且，由數學歸納法知對所有成立
（ⅱ）設，當時，，結論成立
當時，由（1）知，所以且
（ⅲ）設，當時，，結論成立
當時，由（2）知
2、解析：（ⅰ）證明：, ,當時，
故函式在區間是增函式；
（ⅱ）證明：（數學歸納法證明）（ⅰ）當時，，由函式在區間是增函式，且函式在處連續，則在區間是增函式，，即成立；
（ⅱ）假設當時，成立，即
那麼當時，由在區間是增函式，得
.而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恆成立.
（ⅲ）證明：由．可得
1， 若存在某滿足，則由⑵知：
2， 若對任意都有，則
，即成立.
3、本題主要考查數列的遞推關係，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，
同時考查邏輯推理能力．滿分14分．
（ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當時，因為是方程的正根，所以．
②假設當時，，
因為所以．
即當時，也成立．
根據①和②，可知對任何都成立．
（ⅱ）證明：由，（），
得．因為，所以．
由及得，
所以．（ⅲ）證明：由，得
所以，於是，
故當時，，
又因為，所以．
推理與證明2019
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