課題：三次函式影象的對稱性課時設計----侯佰祥
1、設計意圖與學情分析（劃分課時）
三次函式是中學數學利用導數研究函式的乙個重要載體，是應用二次函式圖象和性質的好素材即「三次問題二次求解」。 但教材和各種資料中往往只從求導、求極值、最值、求單調區間、凹凸性等角度進行一些探索，而很少對它的對稱性作出比較系統地、實質性地闡述。本節課應該是在複習「函式導數」基礎上的一節高三複習**課，學生已初步搭建起研究函式的基本平台，借助函式導數的工具來研究三次函式的圖象的對稱性性，符合學生的認知規律。
通過本節內容的教學，既可以整合函式圖象和性質、方程、導數等相關知識，完善學生的知識結構，體會其中蘊涵的數學思想方法，同時也有利於擴充套件學生的數學視野，體驗再發現和再創造的過程，發展學生獨立獲取數學知識的能力，提高學生應用所學知識解決問題的能力。
2、教學目標與重點難點（課時要求）
通過這節課的教學想達到下列三個目標：1）知識目標：發現三次函式圖象的對稱性，掌握三次函式對稱中心的求法及證明。
體會數形結合、函式方程的數學思想方法。2）能力目標：培養學生識圖能力、**能力和創新意識，提高運用所學知識解決問題的能力。
3）情感目標：讓學生經歷從特殊到一般從具體到抽象的認識事物和發現規律的過程，鼓勵學生勇於探索、設法尋到解決問題的方案，體驗「再創造」的樂趣。
3、設計思想與教學方法（課堂型別）
這節課的設計強調學生主動**式的學習方式，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知識的體驗，注重培養學生的終生學習能力。按建構主義觀點，知識需要經過學習者自身體驗，才能被有效地同化和順應。自然，學生在探索的過程中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導和幫助，教師應該圍繞學生的「最近發展區」做文章。
本節課始終貫徹的教學方式是：
因此，不是簡單地給出三次函式的對稱性，而是通過創設情境，搭設台階，模擬其它函式的對稱性，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多**呈現三次函式的圖象，憑藉圖象的直覺去發現、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數層面、導函式分析層面，數形結合層面進行思考逐步加深對三次函式圖象和性質的認識，最後作為對三次函式圖象和性質的應用。在整個教學過程中，學生的主體地位得到充分發揮，教師起組織者、幫助者和促進者的作用，利用情境、對話等學習環境充分發揮學生的主動性、積極性和創造精神，使數學教學成為數學活動的教學，享受**帶來的成就感，激發學生學習數學的興趣，提高他們發現問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導的教學理念。
4、教學流程（課時框架）
一：複習提問：1：抽象函式的對稱性。2：中心對稱圖形的定義（設計意圖為證明做好鋪墊）
二：新知匯入：
1.1 創設情景，提出問題（設計意圖：從特殊到一般，從具體到抽象。符合認知規律）
問題一：三次函式是奇函式，它的影象的對稱中心是（幾何畫板展示），那麼一般的三次函式是否有對稱中心呢？
問題二：觀察圖象回答下列問題（設計意圖：連續設問，從熟悉到陌生，從形倒數。
從具體到抽象。圍繞學生的「最近發展區」做文章。培養學生識圖能力、**能力和創新意識，提高運用所學知識解決問題的能力）
（多**演示幾個三次函式的圖象）
1：三次函式是否具有奇偶性？
生：有些是奇函式，有些不是奇函式，但不可能是偶函式。
2：奇函式的本質是什麼？
生：奇函式的圖象關於原點成中心對稱。
3：三次函式圖象有什麼共性？圖象有對稱中心嗎？
生：三次函式圖象好象都是關於某個點成對稱，且對稱中心就在三次函式的圖象上。
（設計意圖：學生的思維被啟用，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心。直覺是發現的前奏）
）結論引入方案a（設計意圖：歸納猜想。從抽象到抽象，從直覺層面、幾何層面、代數層面、導函式分析層面，數形結合層面進行思考逐步加深對三次函式圖象和性質的認識）
教師點撥：老師，因為三次函式的導函式是二次函式，二次函式是軸對稱圖形，根據導數的幾何意義，說明三次函式的圖象上關於某個點對稱的兩點處的導數值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相等。
鼓勵學生猜想：三次函式對稱中心的橫座標是其導函式的極值點的橫座標（即導數的對稱軸）。
（設計意圖：教師鼓勵他們，繼續引導學生從感性向理性過渡）
板書猜想結論1：三次函式是關於點對稱，且對稱中心為點，此點的橫座標是其導函式極值點的橫座標。
證明：同b方案（設計意圖：從具體的解題引入可能更便於學生接受）
結論引入方案b
引例已知：函式的圖象是中心對稱圖象，其對稱中心為________.
分析根據中心對稱圖形的定義，在函式圖象上的任意一點關於對稱中心的對稱點也在函式的圖象上.
∴，即. ∴，
代入函式式有：,
化簡得：，
與是同一函式，則對應係數相等，
故，∴，，即函式的對稱中心為.
根據上述特殊情況鼓勵學生模仿證明一般情況（設計意圖：按建構主義觀點，知識需要經過學習者自身體驗，才能被有效地同化和順應。自然，學生在探索的過程中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導和幫助。
同時此環節也鍛鍊了學生的算式能力。）
證明：假設三次函式的對稱中心為（m，n）。即證曲線上的任意一點，關於的對稱點必在曲線上。
因為對比由（1）有代入
(3)有
即 說明三次函式的對稱中心不僅存在，而且是曲線上的某乙個點，即對稱中心為
三：應用（設計意圖：通過一題多解，深化對三次函式的對稱性理解和應用。
擴充套件學生的數學視野，體驗再發現和再創造的過程，發展學生獨立獲取數學知識的能力，提高學生應用所學知識解決問題的能力。鼓勵學生勇於探索、設法尋到解決問題的方案，體驗「再創造」的樂趣。）
引例函式的圖象是中心對稱圖象，其對稱中心為________.
方法一：利用定義求對稱中心 （ 略）
設計意圖利用中心對稱的定義求解是基本方法，考察基本概念，通過同一函式的對應係數相等構建方程解出對稱中心.
方法二、巧取特殊點求對稱中心
分析在函式的圖象上取點、，它們關於對稱中心的對稱點分別為、也在函式的圖象上.
∴，相減則，
∴或.又若對稱中心為，則關於的對稱點應在函式圖象上，而，∴不是對稱中心，故對稱中心為.
設計意圖這裡巧妙地在函式圖象上取兩個特殊點，構建關於對稱中心座標的方程，解出對稱中心，但要注意由特殊點求出的解是否也滿足一般的點，因此還要繼續檢驗，排除增解.
方法三、巧構奇函式求對稱中心
分析把函式變形為，設函式，∵為奇函式，∴其對稱中心為，又將函式的圖象按向量平移剛好得到，∴的對稱中心是由的對稱中心按向量平移得到的，即為．∴的對稱中心為．
設計意圖這裡巧妙地構造奇函式（我象二次函式配方那樣，對三次函式「配三次方」，一定可以把二次項「隱藏」起來。），將原函式看作是由奇函式平移得到的，利用奇函式關於原點對稱的性質，這樣原函式的對稱中心就是由奇函式的對稱中心按向量平移得到的.
方法四、巧用導函式求對稱中心
分析如右圖示，若函式的對稱中心為，且點
和點是函式圖象上關於對稱中心對稱的兩點，由對稱性知，函式
在，處的切線斜率相等，設斜率為，則，
∴的兩根為，，則，∴.
又.∴函式的對稱中心為.
四：三次函式對稱中心的幾何位置（設計意圖：從幾何層面再認識對稱性，加強記憶和理解）
以上問題回答了三次函式圖象對稱中心的存在性，其實三次函式對稱中心在圖象上還有它的獨特位置。
結論2： 是可導函式，若的圖象關於點對稱，則圖象關於直線對稱。
證明：的圖象關於對稱，則 由
圖象關於直線對稱，說明對稱中心的橫座標恰為的對稱軸。
圖圖②對照上述證明和①，②兩圖，不難發現a，b兩處分別為的極大值，極小值處，而從a到b的曲線是單調遞減的，但注意到對稱中心c處兩側附近的曲線形式（凹凸性）發生變化，即c為的拐點，而c的橫座標是恰為的對稱軸。
令，則，，這樣由④得，所以對稱中心也是a，b的中點。
綜上所述：三次函式的對稱中心是必定存在的，就是圖象中的拐點處，橫座標就是的對稱軸。如果三次函式極值存在的話，對稱中心還是兩極值處的中點位置。
換句話說，對稱中心的橫座標就是極值處的橫座標。
五：課堂檢測（略）09年福建高考題。10年福建（設計意圖：享受**帶來的成就感，激發學生學習數學的興趣）
六：課堂小結（略）（設計意圖：回顧探索新知識的經歷和獲得新知識的體驗，注重培養學生的終生學習和總結反思的能力。）
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