九年級《二次函式》知識梳理與總結
考點1、二次函式的概念
定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
注意點：
（1）二次函式是關於自變數x的二次式，二次項係數a必須為非零實數，即a≠0，而b、c為任意實數。
（2）當b=c=0時，二次函式是最簡單的二次函式。
（3）二次函式是常數，自變數的取值為全體實數 （為整式）
典型例題：
例1： 函式y=（m＋2）x＋2x－1是二次函式，則m
例2：已知函式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常數），當a 時，是二次函式；當a ，b 時， 是一次函式；當a ，b ，c 時，是正比例函式．
例3：函式y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函式的條件是（ ）
a．m、n為常數，且m≠0b．m、n為常數，且m≠n
c．m、n為常數，且n≠0d．m、n可以為任何常數
例4： 下列函式中是二次函式的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
考點2、三種函式解析式：
（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
對稱軸：直線x頂點座標
（2）頂點式：（a≠0），
對稱軸：直線x= 頂點座標為（, ）
（3）交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
對稱軸:直線x=
(其中x1、x2是二次函式與x軸的兩個交點的橫座標).
例1：拋物線的頂點座標為對稱軸是
例2：二次函式y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是
例3：已知函式的圖象關於y軸對稱，則m
例4：拋物線y=x2-4x+3與x軸的交點座標是
例5：把方程x（x+2）=5（x-2）化為一元二次方程的一般形式後a=( ),b=( ),c=( )
例6：考點3、用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸或最值，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
例1：乙個二次函式的圖象頂點座標為（-5，1），形狀與拋物線y=2x2相同，這個函式解析式為
例2：已知拋物線的頂點座標是（－2，1），且過點（1，－2），求拋物線的解析式。
例3：已知二次函式的影象經過（0，1），（2，1）和（3，4），求該二次函式的解析式。
例4：已知二次函式的影象與x軸的2個交點為（1，0），（2，0），並且過（3，4），求該二次函式的解析式。
考點4.二次函式的圖象
1、二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
2、二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
注：二次函式的圖象可以通過拋物線的平移得到
3、二次函式的影象的畫法
因為二次函式的影象是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時步驟是：
(1)先找出頂點座標，畫出對稱軸；
(2)找出拋物線上關於對稱軸的四個點(如與座標軸的交點等)；
(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線鏈結起來.
典型例題：
例1：函式y=x2的頂點座標為 ．若點（a，4）在其圖象上，則a的值是 ．
例2：若點a（3，m）是拋物線y=－x2上一點，則m
例3：函式y=x2與y=－x2的圖象關於對稱，也可以認為y=－x2，是函式y=x2的圖象繞旋轉得到．
例4：若二次函式y=ax2（a≠0），圖象過點p（2，－8），則函式表示式為 ．
例5：．函式y=x2的圖象的對稱軸為 ，與對稱軸的交點為 ，是函式的頂點．
例6：點a（，b）是拋物線y=x2上的一點，則b點a關於y軸的對稱點b是 ，它在函式上；點a關於原點的對稱點c是 ，它在函式上．
例7：若a＞1，點（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函式y=x2的圖象上，判斷y1、y2、y3的大小關係？
例8：如圖，a、b分別為y=x2上兩點，且線段ab⊥y軸，若ab=6，則直線ab的表示式為（ ）
a．y=3 b．y=6 c．y=9 d．y=36
考點5.二次函式的性質
注：常用性質：
1、開口方向：當a>0時，函式開口方向向上；
當a<0時，函式開口方向向下；
2、增減性：
當a>0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨著x的增大而增大；
當a<0時，在對稱軸左側，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨著x的增大而減少；
3、最大或最小值：
當a>0時，函式有最小值，並且當x= ， y最小 ＝
當a<0時，函式有最大值，並且當x= ， y最大 ＝
典型例題：
例1：拋物線的頂點在y軸上，則m的值為
例2：按要求求出下列二次函式的解析式：
（1）形狀與的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點座標是（0，－3）的拋物線的解析式；
（2）與拋物線關於x軸對稱的拋物線的解析式；
（3）對稱軸是y軸，頂點的縱座標是，且經過（1，1）點的拋物線的解析式。
例3： 已知函式
（1）寫出拋物線的開口方向，頂點座標、對稱軸及最值；
（2）求拋物線與x軸、y軸的交點；
（3）觀察圖象：x為何值時，y隨x的增大而增大；
（4）觀察圖象：當x為何值時，y>0時，當x為何值時，y=0；當x為何值時，y<0。
例4：已知二次函式，根據下列給出的條件求出相應的k的值。
（1）拋物線的頂點在x軸上；
（2）拋物線的頂點在y軸上；
（3）拋物線的頂點在y=4x上。
考點7.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點座標。
①的符號決定拋物線的開口方向
②對稱軸平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
③頂點決定拋物線的位置.
幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
典型例題
例1： 函式在同一座標系中的圖象大致是圖中的（ ）
例2： (2023年四川省內江市)拋物線的頂點座標是（ ）
a．（2，3） b．（－2，3） c．（2，－3） d．（－2，－3）
例3：（2023年桂林市、百色市）二次函式的最小值是（ ）．
a．2 b．1 c．－3 d．
例4：(2023年上海市)拋物線（是常數）的頂點座標是（ ）
a． b． c． d．
例5：（2009湖北省荊門市）函式y=ax＋1與y=ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（ ）
考點8.拋物線中a、b、c的作用
1、a決定拋物線的開口方向和開口大小
的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，函式開口方向向上；
當a<0時，函式開口方向向下；
的大小決定拋物線的開口大小：當越大時，開口越小；
當越小時，開口越大；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
2、a和b共同決定拋物線的對稱軸位置。（x=）
左同右異：①如果對稱軸在y軸左側，則a、b符號相同。
如果對稱軸在y軸右側，則a、b符號相反。
注意點：①時，對稱軸為軸；
②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；
③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
3、c的大小決定拋物線於y軸的交點位置。（於y=kx+b中的b作用相同）
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
注意點：①，拋物線經過原點;
②,與軸交於正半軸；
③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
典型例題
例1： 已知拋物線經過原點和第
一、二、三象限，則（ ）
a. a>0，b<0，c=0
b. a<0，b<0，c=0
c. a<0，b<0，c<0
d. a>0，b>0，c=0
例2：在同一直角座標系中，直線y=ax+b和拋物線的圖象只可能是圖中的（ ）
例3： 在同一直角座標系中，函式的圖象只可能是圖中的（ ）
例4：（2023年貴州黔東南州）拋物線的圖象如圖所示，根據圖象可知，拋物線的解析式可能是（ ）
a、y=x2-x-2b、y=
c、y= d、y=
例5：（2023年齊齊哈爾市）已知二次函式的圖象如圖所示，則下列結論：；方程的兩根之和大於0；隨的增大而增大；④，其中正確的個數（）
a．4個 b．3個 c．2個 d．1個
例6：（2009麗水市）已知二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結論：
①a＞0.
②該函式的圖象關於直線對稱.
③當時，函式y的值都等於0.
其中正確結論的個數是（ ）
a．3 b．2 c．1 d．0
考點9、拋物線的平移
1211《二次函式》知識點梳理與總結
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二次函式知識點梳理
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