九年級《二次函式》知識梳理與總結
考點1、二次函式的概念
定義:一般地,如果是常數,,那麼叫做的二次函式.
注意點:
(1)二次函式是關於自變數x的二次式,二次項係數a必須為非零實數,即a≠0,而b、c為任意實數。
(2)當b=c=0時,二次函式是最簡單的二次函式。
(3)二次函式是常數,自變數的取值為全體實數 (為整式)
典型例題:
例1: 函式y=(m+2)x+2x-1是二次函式,則m
例2:已知函式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數),當a 時,是二次函式;當a ,b 時, 是一次函式;當a ,b ,c 時,是正比例函式.
例3:函式y=(m-n)x2+mx+n是二次函式的條件是( )
a.m、n為常數,且m≠0b.m、n為常數,且m≠n
c.m、n為常數,且n≠0d.m、n可以為任何常數
例4: 下列函式中是二次函式的有( )
①y=x+;②y=3(x-1)2+2;③y=(x+3)2-2x2;④y=+x.
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
考點2、三種函式解析式:
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0),
對稱軸:直線x頂點座標
(2)頂點式:(a≠0),
對稱軸:直線x= 頂點座標為(, )
(3)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
對稱軸:直線x=
(其中x1、x2是二次函式與x軸的兩個交點的橫座標).
例1:拋物線的頂點座標為對稱軸是
例2:二次函式y=-4(1+2x)(x-3)的一般形式是
例3:已知函式的圖象關於y軸對稱,則m
例4:拋物線y=x2-4x+3與x軸的交點座標是
例5:把方程x(x+2)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式後a=( ),b=( ),c=( )
例6:考點3、用待定係數法求二次函式的解析式
(1)一般式:.已知影象上三點或三對、的值,通常選擇一般式.
(2)頂點式:.已知影象的頂點或對稱軸或最值,通常選擇頂點式.
(3)交點式:已知影象與軸的交點座標、,通常選用交點式:.
例1:乙個二次函式的圖象頂點座標為(-5,1),形狀與拋物線y=2x2相同,這個函式解析式為
例2:已知拋物線的頂點座標是(-2,1),且過點(1,-2),求拋物線的解析式。
例3:已知二次函式的影象經過(0,1),(2,1)和(3,4),求該二次函式的解析式。
例4:已知二次函式的影象與x軸的2個交點為(1,0),(2,0),並且過(3,4),求該二次函式的解析式。
考點4.二次函式的圖象
1、二次函式的影象是對稱軸平行於(包括重合)軸的拋物線.
2、二次函式由特殊到一般,可分為以下幾種形式
注:二次函式的圖象可以通過拋物線的平移得到
3、二次函式的影象的畫法
因為二次函式的影象是拋物線,是軸對稱圖形,所以作圖時步驟是:
(1)先找出頂點座標,畫出對稱軸;
(2)找出拋物線上關於對稱軸的四個點(如與座標軸的交點等);
(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線鏈結起來.
典型例題:
例1:函式y=x2的頂點座標為 .若點(a,4)在其圖象上,則a的值是 .
例2:若點a(3,m)是拋物線y=-x2上一點,則m
例3:函式y=x2與y=-x2的圖象關於對稱,也可以認為y=-x2,是函式y=x2的圖象繞旋轉得到.
例4:若二次函式y=ax2(a≠0),圖象過點p(2,-8),則函式表示式為 .
例5:.函式y=x2的圖象的對稱軸為 ,與對稱軸的交點為 ,是函式的頂點.
例6:點a(,b)是拋物線y=x2上的一點,則b點a關於y軸的對稱點b是 ,它在函式上;點a關於原點的對稱點c是 ,它在函式上.
例7:若a>1,點(-a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函式y=x2的圖象上,判斷y1、y2、y3的大小關係?
例8:如圖,a、b分別為y=x2上兩點,且線段ab⊥y軸,若ab=6,則直線ab的表示式為( )
a.y=3 b.y=6 c.y=9 d.y=36
考點5.二次函式的性質
注:常用性質:
1、開口方向:當a>0時,函式開口方向向上;
當a<0時,函式開口方向向下;
2、增減性:
當a>0時,在對稱軸左側,y隨著x的增大而減少;在對稱軸右側,y隨著x的增大而增大;
當a<0時,在對稱軸左側,y隨著x的增大而增大;在對稱軸右側,y隨著x的增大而減少;
3、最大或最小值:
當a>0時,函式有最小值,並且當x= , y最小 =
當a<0時,函式有最大值,並且當x= , y最大 =
典型例題:
例1:拋物線的頂點在y軸上,則m的值為
例2:按要求求出下列二次函式的解析式:
(1)形狀與的圖象形狀相同,但開口方向不同,頂點座標是(0,-3)的拋物線的解析式;
(2)與拋物線關於x軸對稱的拋物線的解析式;
(3)對稱軸是y軸,頂點的縱座標是,且經過(1,1)點的拋物線的解析式。
例3: 已知函式
(1)寫出拋物線的開口方向,頂點座標、對稱軸及最值;
(2)求拋物線與x軸、y軸的交點;
(3)觀察圖象:x為何值時,y隨x的增大而增大;
(4)觀察圖象:當x為何值時,y>0時,當x為何值時,y=0;當x為何值時,y<0。
例4:已知二次函式,根據下列給出的條件求出相應的k的值。
(1)拋物線的頂點在x軸上;
(2)拋物線的頂點在y軸上;
(3)拋物線的頂點在y=4x上。
考點7.拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點座標。
①的符號決定拋物線的開口方向
②對稱軸平行於軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線.
③頂點決定拋物線的位置.
幾個不同的二次函式,如果二次項係數相同,那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點的位置不同.
典型例題
例1: 函式在同一座標系中的圖象大致是圖中的( )
例2: (2023年四川省內江市)拋物線的頂點座標是( )
a.(2,3) b.(-2,3) c.(2,-3) d.(-2,-3)
例3:(2023年桂林市、百色市)二次函式的最小值是( ).
a.2 b.1 c.-3 d.
例4:(2023年上海市)拋物線(是常數)的頂點座標是( )
a. b. c. d.
例5:(2009湖北省荊門市)函式y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是( )
考點8.拋物線中a、b、c的作用
1、a決定拋物線的開口方向和開口大小
的符號決定拋物線的開口方向:當a>0時,函式開口方向向上;
當a<0時,函式開口方向向下;
的大小決定拋物線的開口大小:當越大時,開口越小;
當越小時,開口越大;
相等,拋物線的開口大小、形狀相同.
2、a和b共同決定拋物線的對稱軸位置。(x=)
左同右異:①如果對稱軸在y軸左側,則a、b符號相同。
如果對稱軸在y軸右側,則a、b符號相反。
注意點:①時,對稱軸為軸;
②(即、同號)時,對稱軸在軸左側;
③(即、異號)時,對稱軸在軸右側.
3、c的大小決定拋物線於y軸的交點位置。(於y=kx+b中的b作用相同)
當時,,∴拋物線與軸有且只有乙個交點(0,):
注意點:①,拋物線經過原點;
②,與軸交於正半軸;
③,與軸交於負半軸.
以上三點中,當結論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側,則.
典型例題
例1: 已知拋物線經過原點和第
一、二、三象限,則( )
a. a>0,b<0,c=0
b. a<0,b<0,c=0
c. a<0,b<0,c<0
d. a>0,b>0,c=0
例2:在同一直角座標系中,直線y=ax+b和拋物線的圖象只可能是圖中的( )
例3: 在同一直角座標系中,函式的圖象只可能是圖中的( )
例4:(2023年貴州黔東南州)拋物線的圖象如圖所示,根據圖象可知,拋物線的解析式可能是( )
a、y=x2-x-2b、y=
c、y= d、y=
例5:(2023年齊齊哈爾市)已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論:;方程的兩根之和大於0;隨的增大而增大;④,其中正確的個數()
a.4個 b.3個 c.2個 d.1個
例6:(2009麗水市)已知二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下結論:
①a>0.
②該函式的圖象關於直線對稱.
③當時,函式y的值都等於0.
其中正確結論的個數是( )
a.3 b.2 c.1 d.0
考點9、拋物線的平移
12 11《二次函式》知識點梳理與總結
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