積分上限函式（或變上限定積分）的自變數是上限變數，在求導時，是關於求導，但在求積分時，則把看作常數，積分變數在積分區間上變動。弄清上限變數和積分變數的區別是對積分限函式進行正確運算的前提。
1． 關於積分上限函式的理論
定理1 如果在上可積，則在上連續.
定理2 如果在上連續，則在上可導，且
注：（ⅰ）從以上兩個定理可看出，對作變上限積分後得到的函式，性質比原來的函式改進了一步：可積改進為連續；連續改進為可導。
這是積分上限函式的良好性質。而我們知道，可導函式經過求導後，其導函式甚至不一定是連續的。
（ⅱ）定理（2）也稱為原函式存在定理。它說明：連續函式必存在原函式，並通過定積分的形式給出了它的乙個原函式。
我們知道，求原函式是求導運算的逆運算，本質上是微分學的問題；而求定積分是求乙個特定和式的極限，是積分學的問題。定理（2）把兩者聯絡了起來，從而使微分學和積分學統一成為乙個整體，有重要意義。
推論1推論2推論32． 積分限函式的幾種變式
（1） 比如
(被積函式中含x , 但x 可提到積分號外面來.)
在求時，先將右端化為的形式，再對求導。
（2）比如
( f 的自變數中含x, 可通過變數代換將x 置換到f 的外面來)
在求時，先對右端的定積分做變數代換（把看作常數），此時，，時，；時，，這樣，就化成了以作為積分變數的積分下限函式：，然後再對x求導。
( 3 ) 比如
(這是含引數x的定積分, 可通過變數代換將x 變換到積分限的位置上去)
在求時，先對右端的定積分做變數代換（把看作常數），此時，，時，；時，，於是，就化成了以作為積分變數的積分上限函式：，然後再對x求導。
3． 有積分限函式參與的題型舉例
（1） 極限問題：
例1 （答：12）
例2 （提示：本題用洛必達法則求不出結果，可用夾逼準則求。 答：）
例3 已知極限，試確定其中的非零常數
（答：）
（2） 求導問題
例4 已知求(答:)
例5 已知求(答:)
例6 求
(答:)
例7 設在內連續且求證在內單調增加.
(3) 最大最小值問題
例8 在區間上求一點, 使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小.
(提示: 先將面積表達為兩個變限定積分之和:, 然後求出,再求出其駐點. 答:.)
例9 設，為正整數. 證明的最大值不超過 (提示:先求出函式的最大值點, 然後估計函式最大值的上界.)
(4) 積分問題
例10 計算，其中.
(提示: 當定積分的被積函式中含有積分上限函式的因子時, 總是用分部積分法求解, 且取為積分上限函式. 答:)
例11 設在內連續, 證明
(提示: 對右端的積分施行分部積分法.)
例12 設求在內的表示式.
(說明: 這類題在概論課中求連續型隨機變數的分布函式時會遇到. 求表示式時, 注意對任一取定的, 積分變數在內變動.
答:)(5) 含有未知函式的變上限定積分的方程（稱為積分方程）的求解問題
例13 設函式連續，且滿足
求(答:)
（說明：這類問題總是通過兩端求導，將所給的積分方程化為微分方程，然後求解. 注意初值條件隱含在積分方程內. 答:）
例14 設為正值連續函式,且對任一, 曲線
在區間上的一段弧長等於此弧段下曲邊梯形的面積, 求此曲線方程.
(說明: 根據題設列出的方程將含有的積分上限函式.
答: (6) 利用積分上限函式構造輔助函式以證明積分不等式等.
例15 設均在上連續, 證明以下的cauchy-swartz 不等式:
說明: 本題的通常證法是從不等式出發, 由關於的二次函式非負的判別條件即可證得結論. 但也可構造乙個積分上限函式, 利用該函式的單調性來證明. 提示如下:
令則 求出並證明從而單調減少, 於是得
由此可得結論. 這種證法有一定的通用性. 例如下例.
例16 設在[0,1]上連續且單調減少. 證明: 對任一有
(提示: 即證於是作只需證單調減少即可得結論.)
利用積分上限函式構造輔助函式, 還常用於證明與微分中值定理有關
的某些結論. 比如下題.
例17 設在上連續. 求證: 存在, 使
.(提示: 令. 對在上用rolle定理即可證得結論)
4. 關於積分限函式的奇偶性與週期性
定理3 設連續，.如果是奇（偶）函式，則是偶（奇）函式；如果如果是週期為的函式，且,則是相同週期的週期函式.
證設奇, 則
,即為偶函式.
設偶, 則
,即為奇函式.
若，則,
即為週期為t 的週期函式.
例18 設在內連續,. 證明:
(a) 如果是偶函式, 則也是偶函式;
(b) 如果是單調減少函式, 則也是單調減少函式.
關於積分上限函式的小結
2009.12 積分上限函式 或變上限定積分 的自變數是上限變數，在求導時，是關於求導，但在求積分時，則把看作常數，積分變數在積分區間上變動。弄清上限變數和積分變數的區別是對積分限函式進行正確運算的前提。1 關於積分上限函式的理論 定理1 如果在上可積，則在上連續.定理2 如果在上連續，則在上可導，...
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