概率部分（一）
1.一家公司招考員工，每位考生要在a、b、c、d、e這5道試題中隨機抽出2道題回答，規定答對其中1題即為合格．已知某位考生會答a、b兩題，試求這位考生合格的概率．
解：樹狀圖為：
abcde
b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d
所有可能出現的結果共有20個，其中合格的結果有14個.所以，p(這位考生合格
2.現有8名奧運會志願者，其中志願者a1，a2，a3通曉日語，b1，b2，b3通曉俄語，c1，c2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志願者各1名，組成乙個小組．
(1)求a1被選中的概率；
(2)求b1和c1不全被選中的概率．
解：(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志願者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間：，共18種
設a=，則a包含的基本事件有：(a1，b1，c1)，(a1，b1，c2)，(a1，b2，c1)，(a1，b2，c2)，(a1，b3，c1)，(a1，b3，c2)共6種
所以，．
(2)設b=，則其對立事件表示「b1，c1全被選中」，
包含的基本事件有： (a1，b1，c1)，(a2，b1，c1)，(a3，b1，c1)}共3種
所以，由對立事件的概率公式得p(b)＝1－p()＝．
3. 設有關x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．
(1)若a是從0，1，2，3四個數中任取的乙個數，b是從0，1，2三個數中任取的乙個數，求上述方程有實根的概率．
(2)若a是從區間[0，3]任取的乙個數，b是從區間[0，2]任取的乙個數，求上述方程有實根的概率．
解：設事件a為「方程x2＋2ax＋b2＝0有實根」．
方程x2＋2ax＋b2＝0有實根，則≥．
(1)基本事件共12個：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．事件a中包含9個基本事件，．
(2)試驗的全部結果所構成的區域為．
構成事件a的區域為．
所以所求的概率為
4.已知函式f(x)＝－＋ax－b.
(1)若，b都是從0,1,2,3,4五個數中任取的乙個數，求上述函式有零點的概率；
(2)若，b都是從區間[0,4]上任取的乙個數，求f(1)>0成立的概率．
解：(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個數中任取的乙個數，則基本事件總數為n＝5×5＝25種．函式有零點的條件為δ＝－4b≥0，即≥4b.
因為事件≥4b包含的基本事件有：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12種
設a=，所以p（a）＝，即函式f(x)有零點的概率為.
(2)試驗的全部結果所構成的區域為．
構成事件a的區域為．
所以所求的概率為
三角函式部分（二）
1．函式的圖象為，如下結論中正確的是 ①②③（寫出所有正確結論的編號）．
①圖象關於直線對稱；②圖象關於點對稱；
③函式在區間內是增函式；
④由的圖角向右平移個單位長度可以得到圖象．
2.下面有五個命題：
①函式y=sin4x-cos4x的最小正週期是.②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.
③在同一座標系中，函式y=sinx的圖象和函式y=x的圖象有三個公共點.
④把函式
⑤函式其中真命題的序號是寫出所有真命題的編號））
3.已知函式，．
（i）求的最大值和最小值；
（ii）若不等式在上恆成立，求實數的取值範圍．
解：（ⅰ）
． 又，，即，．
（ⅱ），，
且，，即的取值範圍是．
4.已知函式，．
（i）設是函式圖象的一條對稱軸，求的值．
（ii）求函式的單調遞增區間．
解：（i）由題設知．
因為是函式圖象的一條對稱軸，所以，
即（）．
所以．當為偶數時，，
當為奇數時，．
（ii）
．當，即（）時，
函式是增函式，
故函式的單調遞增區間是（）．
5.設函式f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈r,且函式y=f(x)的圖象經過點，
（ⅰ）求實數m的值；
（ⅱ）求函式f(x)的最小值及此時x的值的集合. 17．（本小題滿分12分）
解：（ⅰ），
由已知，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
當時，的最小值為，
由，得值的集合為
6.已知函式．
（ⅰ）求函式的最小正週期；
（ⅱ）求函式在區間上的最小值和最大值．
（ⅰ）解：．
因此，函式的最小正週期為．
（ⅱ）解法一：因為在區間上為增函式，在區間上為減函式，又，，，
故函式在區間上的最大值為，最小值為．
解法二：作函式在長度為乙個週期的區間上的圖象如下：
由圖象得函式在區間上的最大值為，
最小值為
7.已知函式（其中）的週期為，且圖象上乙個最低點為. (ⅰ)求的解析式；（ⅱ）當，求的最值.解析:（1）由最低點為， 由，由點在影象上得即，所以故
又，所以所以
（ⅱ）因為
所以當時，即x=0時，f(x)取得最小值1；
；8.設函式f(x)=cos(2x+)+sinx.
(1) 求函式f(x)的最大值和最小正週期.
(2) 設a,b,c為abc的三個內角，若cosb=，，且c為銳角，求sina.
解：（1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=
所以函式f(x)的最大值為,最小正週期.
（2）==－, 所以, 因為c為銳角, 所以,又因為在abc 中, cosb=, 所以 , 所以
.9.已知函式（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上乙個最低點為.
(ⅰ)求的解析式；（ⅱ）當，求的值域.
解（1）由最低點為得a=2.
由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即，
由點在影象上的故又
（2）當=，即時，取得最大值2；當
即時，取得最小值-1，故的值域為[-1,2
10.已知函式其中，
（i）若求的值
（ⅱ）在（i）的條件下，若函式的影象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於，求函式的解析式；並求最小正實數，使得函式的影象象左平移個單位所對應的函式是偶函式。
解法一：
（i） 由得
即又（ⅱ）由（i）得，依題意，
又故函式的影象向左平移個單位後所對應的函式為
是偶函式當且僅當即
從而，最小正實數
解法二：
（i）同解法一
（ⅱ）由（i）得， 依題意， 又，故，函式的影象向左平移個單位後所對應的函式為，是偶函式當且僅當對恆成立
亦即對恆成立。
即對恆成立。故從而，最小正實數
11.已知函式
（ⅰ）求函式的最小正週期及在區間上的最大值和最小值；
（ⅱ）若，求的值。
（1）解：由，得
所以函式的最小正週期為
因為在區間上為增函式，在區間上為減函式，又
，所以函式在區間上的最大值為2，最小值為-1
（ⅱ）解：由（1）可知
又因為，所以由，得
從而12.（本小題滿分12分）已經函式
(ⅰ)函式的圖象可由函式的圖象經過怎樣變化得出？
（ⅱ）求函式的最小值，並求使用取得最小值的的集合
13． 已知函式y=3sin（x－）.
（1）用「五點法」作函式的圖象；（2）說出此圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變化得到的；
（3）求此函式的週期、振幅、初相；（4）求此函式的對稱軸、對稱中心、單調遞增區間.
解：（1）略（2）方法一：「先平移，後伸縮」.
先把y=sinx的圖象上所有的點向右平移個單位，得到y=sin（x－）的圖象；再把y=sin（x－）圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍（縱座標不變），得到y=sin（x－）的圖象；最後將y=sin（x－）的圖象上所有點的縱座標伸長到原來的3倍（橫座標不變），就得到y=3sin（x－）的圖象.
方法二：「先伸縮，後平移」.
先把y=sinx的圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍（縱座標不變），得到y=sin（x）的圖象；再把y=sin（x）圖象上所有的點向右平移個單位，得到y=sin（x－）= sin（）的圖象；最後將y=sin（x－）的圖象上所有點的縱座標伸長到原來的3倍（橫座標不變），就得到y=3sin（x－）的圖象.
（3）週期t==4π，振幅a=3，初相是－.
（4）由於y=3sin（x－）是週期函式，通過觀察圖象可知，所有與x軸垂直並且通過圖象的最值點的直線都是此函式的對稱軸，即令x－=+kπ，解得直線方程為x=+2kπ，k∈z；
所有圖象與x軸的交點都是函式的對稱中心，所以對稱中心為點（+2kπ，0），k∈z；
x前的係數為正數，所以把x－視為乙個整體，令－+2kπ≤x－≤+2kπ，解得［－+4kπ， +4kπ］，k∈z為此函式的單調遞增區間.
14．已知函式f(x)=logacos(2x-)（其中a>0,且a≠1）．
（1）求它的定義域；（2）求它的單調區間；（3）判斷它的奇偶性；
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