第八章蒙特卡洛期權定價方法

在金融計算中蒙特卡洛模擬是一種重要的工具：可以用來評估投資組合管理規則、為期權定價、模擬套期保值交易策略、估計風險價值。蒙特卡洛方法主要的優勢在於對大多數情況都適用、易於使用、靈活。

它把隨機波動性和奇異期權的很多複雜特性都考慮進去了，更傾向於使用處理高維問題，而網格和pdf分析框架卻不適用。蒙特卡洛模擬潛在的劣勢在於它的計算量大。多次的重複需要完善我們所關注的置信區間的估計。

利用方差縮減技術和低差異序列可以部分的解決這個問題。本章的目的是解釋這些技術在一些例子上的應用，包括一些路徑依賴型期權。這章是第四章的延伸，在第四章裡我們討論了蒙特卡洛積分。

需要強調的是蒙特卡洛方法是概念上的乙個數字積分工具，即使我們適用更多的「模擬」或「抽樣」。在使用低差異序列而不是偽隨機生成時這需要牢記。

如果可能，我們可以把模擬的結果和分析公式進行比較。很明顯我們這樣做的目標是乙個純粹的教學。如果你要計算乙個矩形房間的面積，你只需要用房間的長度乘以房間的寬度即可，而不必要計算有多少次一塊標準磚與這個表面相匹配。

儘管如此，你還是應該學會在一些簡單案例中首先適用模擬的方法，在這些簡單的例子中我們可以檢驗答案的一致性；更進一步，我們也要看為達到方差減小的目的分析公式可用於的模擬期權可能更有力的控制變數。

蒙特卡洛應用的出發點是生成樣本路徑，這個生成的樣本路徑給予乙個描述**（或利率）動態的隨機微分方程。在8.1節我們解釋幾何布朗運動的路徑生成；在乙個具體例子中模擬兩個對沖策略，我們也會討論布朗橋，它是適時推進模擬樣本的乙個替代方案。

在8.2節將討論交換期權，它被用作為乙個如何將這種方法推廣到多維過程的乙個簡單例項。在8.

3節我們考慮乙個弱路徑依賴型期權的例子，這是個**敲出看跌期權；我們加入了有條件的蒙特卡洛和為減小方差抽樣的重要性。在8.4節將討論到強路徑依賴型期權，同時我們證明了運用控制變數和低差異序列為算術平均亞式期權定價。

我們以概述由蒙特卡洛抽樣產生的估計期權敏感性的基本問題來結束本章；在8.5節我們考慮乙個普通的看漲期權a的簡單案例。

在第10.4節將討論到隨機模擬期權定價的另乙個應用，它應用於美式期權；而乙個簡單的模擬方法在早期的應用中不可實行，並且這個問題在隨機動態優化的框架裡被強制轉換。

8.1 路徑生成

蒙特卡洛期權定價方法的應用的出發點是對樣本基本因素路徑的產生。對於一般的期權就像在第四章裡面一樣不需要產生路徑：只需要關注標的資產到期日的**。

但是如果路徑依賴型期權，我們就需要整條路徑或者至少需要在給定時刻的一系列價值。如果服從幾何布朗運動，情況的處理就非常簡單。事實上，必須認識到在路徑生成中有兩個誤差源：

樣本誤差、離散誤差。

樣本錯誤時因為蒙特卡洛方法的隨機性，這個問題可以通過減小方差的辦法得到緩解。為了理解什麼是離散錯誤，我們考慮乙個典型的離散連續時間模型，例如：伊藤隨機微分方程：

[=a(s_,t)dt+b(s_,t)dw_', 'altimg': '0da173f738f4ad194e3c2b1850dbe5de.png', 'w':

'249', 'h': '23'}]

根據最簡單的離散的方法尤拉公式，得到以下離散時間模型：

是離散時間步，且這種方法在概念上與有限差分類似，並且在確定性微分方程上的應用會產生乙個截尾誤差，在離散步長很小的時候這個誤差可以忽略不計【1】。當我們討論隨機過程收斂性時是乙個非常重要的概念，。隨著樣本路徑和複製次數的增加，我們也就能夠減小樣本誤差。

雖然可以更正式地證明上述理由，但我們應該認識到離散誤差至可能改變特徵解的概率分布例如，幾何布朗運動模型：

尤拉公式

這是非常容易掌握和執行的，但是每個[=s(iδt)', 'altimg': '8e2878ad6c15f8a7bce3a80e8d900d53.png', 'w':

'92', 'h': '23'}]值的邊緣分布比起對數正態分佈更普通。事實上，取很小的就可以減小誤差，但是很費時。

在乙個特定的案例中，我們可以通過伊藤引理的乙個簡單應用來同時消除隨機誤差，但對大多數情況而言這種方法不可取。對於複雜的隨機微分方程，我們必須生成整條樣本路徑。

8.1．1 模擬幾何布朗運動

利用伊藤引理，我們可以把（8.1）轉換為下面這種形式：

我們還記得，利用對數正態分佈性質【2】，令

有：當完全合併時（8.2）非常有用，得到：

為了模擬在時間段（0，t）上的資產**的路徑，我們必須用乙個間步長把時間離散化。從最後乙個等式以及標準wiener過程（見2.5節），得到

而是乙個標準正態隨機變數。以等式（8.5）為基礎，很容易生成資產**的樣本路徑。

在圖8.1中給出了生成服從幾何布朗運動的資產**的樣本路徑的令。函式assetpaths產生乙個樣本路徑矩陣，在這個矩陣裡，模擬的資產**按行儲存且每一列類似於乙個時間瞬間。

第一列包含了對所有路徑來說相同的值和初始**。我們必須給這個函式賦值，始**s0，漂移率mu,波動性sigma,時間範圍t，時間步長的數量nsteps，模擬次數nrep1.值得注意的是該函式把引數作為已知的然後計算引數

例如，生成並且繪製三條為期一年的樣本路徑，初始**$50,均值為0.1，標準差0.3（以一年為基礎），假定時間步長為一天【3】

繪製的結果如圖8.2所示。如果用另一種狀態為randn標準型生成隨機數，將會得到不同的結果。

圖8.1 用蒙特卡洛模擬生成資產**路徑的matlab命令

圖8.2 用蒙特卡洛模擬生成的樣本路徑