已知，……是正實數，輪換對稱式為，，
時有解。若，則可在時，取得最小值；若，則可在時，取得最大值。
證明：（1）最小值
因為，所以為凸函式，為單調遞增函式。
由於是輪換對稱式，可得、…為凸函式，、…為單調遞增函式。故有方程組：
當對，……進行賦值時，若不滿足上述方程組，則可以改變其賦值，使其滿足，從而變小的值（如不等於0，可改變值，讓，就取得最小值，從而的值就變小了）。故取得最小值的時候，就是上述方程組的解。
對於方程組的解，可用數學歸納法來求解。
1. 把，……看作常數，故有方程組：，如果（），使得方程成立。因為、為單調遞增函式，只改變
或，都會使得或不等於0，故和只存在一種關係。由於其對稱性，還有（），得。
2. 假設把，……看作常數，方程組存在唯一解。
3. 把，……看作常數，故有方程組，由2的推導可得其解滿足，由於對稱性，也存在，因為方程組的解唯一，所有k=1。
綜上所述：的解為。
2）最大值：證法同（1）
舉例分析：
設，，是正數，證明：
證明：設，。
，為凸函式。
方程組解為。
所以，當，取得最小值為
總結：證明輪換對稱不等式的步驟：
（1） 求出和
（2） 判斷是否恆大於0，或者恆小於0
（3） 將帶入中，看是否等於0
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