5.5 推理與證明
一、基礎知識導學
1. 推理一般包括合情推理和演繹推理.
2. 合情推理：根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程.歸納、模擬是合情推理常用的思維方法.
3. 歸納推理：根據一類事物的部分物件具有某種性質，推出這類事物的所有物件都具有這種性質的推理.
4. 歸納推理的一般步驟：⑴通過觀察個別情況發現某些相同性質；⑵從已知的相同性質中推出乙個明確表達的一般性命題（猜想）.
5. 模擬推理：根據兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質的推理.
6. 模擬推理的一般步驟：⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性；⑵從一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題（猜想）.
7. 演繹推理：根據一般性的真命題匯出特殊性命題為真的推理.
8. 直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.
9. 分析法：從原因推導到結果的思維方法
10. 綜合法：從結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法.
11. 反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.
12. 應用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結論；⑵做出與命題結論相矛盾的假定；⑶由假定出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結果；⑷間接證明命題為真.
13. 數學歸納法：設｛pn｝是乙個與自然數相關的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那麼可以斷定，｛pn｝對一切正整數成立.
14. 數學歸納法的步驟：
（1）證明當 （如或2等）時，結論正確；
（2）假設時結論正確，證明時結論也正確．
二、疑難知識導析
1.歸納推理是根據一類事物的部分物件具有某種性質，推出這類事物的所有物件都具有這種性質的推理.
而模擬推理是根據兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質的推理.
2. 應用反證法證明命題的邏輯依據：做出與命題結論相矛盾的假定，由假定出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結果
3. 數學歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.
三、經典例題導講
[例1] {}是正數組成的數列,其前n項和為,並且對於所有的自然數,與2的等差中項等於與2的等比中項.
(1)寫出數列{}的前3項;
(2)求數列{}的通項公式(寫出推證過程);
錯解：由(1)猜想數列{}有通項公式=4-2.
下面用數學歸納法證明數列{}的通項公式是
=4-2. (∈n).
①當=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結論成立.
②假設n=k時結論成立,即有=4-2.由題意,有
將=4-2代入上式，得，解得
由題意,有
將代入，化簡得
解得.∴
這就是說,當n=k+1時,上述結論成立.
根據①、②,上述結論對所有的自然數n成立.
錯因在於解題過程中忽視了取值的取捨.
正解：由(1)猜想數列有通項公式an=4n-2.
猜想數列{}有通項公式=4-2.
下面用數學歸納法證明數列{}的通項公式是
=4-2. (∈n).
①當=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結論成立.
②假設n=k時結論成立,即有=4-2.由題意,有
將=4-2代入上式，得，解得
由題意,有
將代入，化簡得
解得.由∴
這就是說,當n=k+1時,上述結論成立.
根據①、②,上述結論對所有的自然數n成立.
[例2] 用數學歸納法證明對於任意自然數，
錯解：證明：假設當（n）時，等式成立，
即，那麼當時，
這就是說，當時，等式成立．
可知等式對任意n成立．
錯因在於推理不嚴密，沒有證明當的情況 ．
正解：證明：（1）當時，左式，右式，所以等式成立．
（2）假設當（）時，等式成立，
即，那麼當時，
這就是說，當時，等式成立．
由（1）、（2），可知等式對任意n成立．
[例3] 是否存在自然數，使得對任意自然數，都能被整除，若存在，求出的最大值，並證明你的結論；若不存在，說明理由．
分析本題是開放性題型，先求出，，…再歸納、猜想、證明．
解：， ，
，……猜想， 能被36整除，用數學歸納法證明如下：
（1）當時，，能被36整除．
（2）假設當，（ n）時，能被36整除．
那麼，當時，
由歸納假設，能被36整除，
當為自然數時，為偶數，則能被36整除．
∴ 能被36整除，
這就是說當時命題成立．
由（1）、（2）對任意，都能被36整除．
當取大於36的自然數時，不能被整除，所以36為最大．
[例4] 設點是曲線c：與直線的交點，過點作直線的垂線交軸於，過點作直線的平行線交曲線c於，再過點作的垂線作交x軸於，如此繼續下去可得到一系列的點，，…，，…如圖，試求的橫座標的通項公式．
分析本題並沒有指明求通項公式的方法，可用歸納——猜想——證明的方法，也可以通過尋求與的遞推關係式求的通項公式．
解：解法一與（，）聯立，解得
直線的方程為， 令，得，所以點
直線的方程為與聯立，消元得（），解得， 所以點（，）．
直線的方程為，
令，得，所以點同樣可求得點（，0）
……由此推測（，0），即
用數學歸納法證明
（1）當時，由點的座標為（，0），
即，所以命題成立．
（2）假設當時命題成立，
即，0），則當時，
由於直線的方程為，
把它與（，）聯立，
消去可得（），
∴於是即點的座標為（，）．
∴ 直線的方程為
令得，即點的座標為（，0）
∴ 當時，命題成立．
解法二設點，的座標分別為（，0）、（，0），
建立與的遞推關係，即，
由數列是等差數列，且，公差
可求得（），．
用數學歸納法證明與自然數n有關的幾何命題，由k過渡到k＋1常利用幾何圖形來分析圖形前後演變情況．
[例5] 有n個圓，其中每兩個圓都相交於兩點，並且每三個圓都不相交於同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2-n＋2個部分．
證明①當n＝1時，即乙個圓把平面分成二個部分f(1)=2
又n＝1時，n2-n＋2＝2，∴命題成立
②假設n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2-k＋2個
部分，那麼設第k＋1個圓記⊙o，由題意，它與k個圓中每個圓
交於兩點，又無三圓交於同一點，於是它與其它k個圓相交於2k
個點．把⊙o分成2k條弧而每條弧把原區域分成2塊，因此這平
面的總區域增加2k塊，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2
即n＝k＋1時命題成立．
由①②可知對任何n∈n命題均成立．
說明: 本題如何應用歸納假設及已知條件，其關鍵是分析k增加「1」時，研究第k＋1個圓與其它k個圓的交點個數問題．
[例6] 已知n≥2，n∈n
②假設n=k時，原不等式成立．
由①②可知，對任何n∈n(n≥2)，原不等式均成立．
四、典型習題導練
1.用數學歸納法證明等式「1＋2＋3＋…＋（＋3）= (n)」，
當=1時，左邊應為
2.已知數列的前n項和，則{}的前四項依次為_______,猜想
3.已知數列
證明.4.已知不等式為大於2的整數，表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足證明.
5. 自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從巨集觀上考察其再生能
力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈n*，且x1＞0.
不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，
這些比例係數依次為正常數a，b，c.
（1）求xn+1與xn的關係式；
（2）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什麼條件時，每年年初魚群的總量保持不變？
（3）設a＝2，c＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈n*，則捕撈強度b的
最大允許值是多少？證明你的結論.
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