6.4《空間角和距離》錯誤解題分析
一、知識導學
1、掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運算。
2、掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點到直線（或平面）的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法。
二、疑難知識導析
1、求空間角的大小時，一般將其轉化為平面上的角來求，具體地將其轉化為某三角形的乙個內角。
2、求二面角大小時，關鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等。
3、空間距離的計算一般將其轉化為兩點間的距離。求點到平面距離時，可先找出點在平面內的射影（可用兩個平面垂直的性質），也可用等體積轉換法求之。另外要注意垂直的作用。
球心到截面圓心的距離由勾股定理得
4、球面上兩點間的距離是指經過這兩點的球的大圓的劣弧的長，關鍵在於畫出經過兩點的大圓以及小圓。
5、要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用。
三、經典例題導講
[例1] 平面外有兩點a,b，它們與平面的距離分別為a,b，線段ab上有一點p，且ap:pb=m:n，則點p到平面的距離為
【錯解】。
【錯因】只考慮ab在平面同側的情形，忽略ab在平面兩測的情況。
【正解】 。
[例2]與空間四邊形abcd四個頂點距離相等的平面共有______個。
【錯解】4個。
【錯因】只分1個點與3個點在平面兩側。沒有考慮2個點與2個點在平面兩側。
【正解】7個。
[例3]乙個盛滿水的三稜錐形容器，不久發現三條側稜上各有乙個小洞d、e、f，且知sd：da=se：eb=cf：
fs=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（ ）
a、 b、 c、 d、
【錯解】a、b、c。由過d或e作面abc的平行面，所截體計算而得。
【正解】d。
當平面efd處於水平位置時，容器盛水最多
最多可盛原來水得1－
[例4]斜三稜柱abc-a1b1c1的底面是邊長為a的正三角形，側稜長等於b，一條側稜aa1與底面相鄰兩邊ab、ac都成450角，求這個三稜柱的側面積。
【錯解】一是不給出任何證明，直接計算得結果；二是作直截面的方法不當，即「過bc作平面與aa1垂直於m」；三是由條件「∠a1ab=∠a1ac∠aa1在底面abc上的射影是∠bac的平分線」不給出論證。
【正解】過點b作bm⊥aa1於m，鏈結cm，在△abm和△acm中，∵ab=ac，∠mab=∠mac=450，ma為公共邊，∴△abm≌△acm，∴∠amc=∠amb=900，∴aa1⊥面bhc，即平面bmc為直截面，又bm=cm=absin450=a，∴bmc周長為2xa+a=(1+)a，且稜長為b，∴s側=(1+)ab
[例5]已知ca⊥平面α，垂足為a；ab α，bd⊥ab，且bd與α成30°角；ac=bd=b，ab=a。求c，d兩點間的距離。
解: 本題應分兩種情況討論：
（1）如下左圖。c，d在α同側：過d作df⊥α，垂足為f。連bf，則於是。
根據三垂線定理bd⊥ab得bf⊥ab。
在rt△abf中，af=
過d作deac於e，則de=af，ae=df=。所以ec=ac-ae= b-=。故
cd=(2)如上右圖。c，d在α兩側時：同法可求得cd=
【點評】本題是通過把已知量與未知量歸結到乙個直角三角形中，應用勾股定理來求解。
[例6] （湖北卷）如圖，在稜長為1的正方體中，是側稜上的一點，。
（1）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；
（2）**段上是否存在乙個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直於。
並證明你的結論。
解：解法一（1）連ac，設ac與bd相交於點o,ap與平面相交於點，,鏈結og，因為
pc∥平面，平面∩平面apc＝og,
故og∥pc，所以，og＝pc＝。
又ao⊥bd,ao⊥bb1，所以ao⊥平面，
故∠ago是ap與平面所成的角。
在rt△aog中，tanago＝，即m＝。
所以，當m＝時，直線ap與平面所成的角的正切值為。
（2）可以推測，點q應當是aici的中點o1，因為
d1o1⊥a1c1, 且 d1o1⊥a1a ，所以 d1o1⊥平面acc1a1，
又ap平面acc1a1，故 d1o1⊥ap。
那麼根據三垂線定理知，d1o1在平面apd1的射影與ap垂直。
解法二：(1)建立如圖所示的空間直角座標系，則a(1，0，0)，b(1，1，0)，p(0，1，m)，c(0，1，0)，d(0，0，0)，b1(1，1，1)，d1(0，0，1)
所以又由知，為平面的乙個法向量。
設ap與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當時，直線ap與平面所成的角的正切值為。
（2）若在a1c1上存在這樣的點q，設此點的橫座標為，則q(x，1－，1)，。依題意，對任意的m要使d1q在平面apd1上的射影垂直於ap，等價於d1q⊥ap即q為a1c1的中點時，滿足題設要求。
[例7]在梯形abcd中，∠adc=90°，ab∥dc，ab=1，dc=2，，p為平面abcd外一點，pad是正三角形，且pa⊥ab，
求：（1）平面pbc和平面pad所成二面角的大小；
（2）d點到平面pbc的距離。
解: （1）設ad∩bc=e，可知pe是平面pbc和平面pad的交線，依題設條件得pa=ad=ae，則∠epd=90°，pd⊥pe
又pa⊥ab，da⊥ab，故ab⊥平面pad。
∵ dc∥ab，∴ dc⊥平面pad。
由pe⊥pc得pe⊥pd，∠dpc是平面pbc與平面pad所成二面角的平面角。，dc=2，tan，。
（2）由於pe⊥pd，pe⊥pc，故pe⊥平面pdc，
因此平面pdc⊥平面pbc，
作dh⊥pc，h是垂足，則dh是d到平面pbc的距離。
在rt△pdc中，，dc=2，，。
平面pbc與平面pad成二面角的大小為arctan，d到平面pbc的距離為。
[例8] 半徑為1的球面上有a、b、c三點，a與b和a與c的
球面距離都是，b與c的球面距離是，求過a、b、c三點的截面到球心o距離。
【分析】轉化為以球心o為頂點，△abc為底面的三稜錐問題解決。
由題設知△obc是邊長為1的正三角形，△aob和△aoc是腰長為1的全等的等腰三角形。
取bc中點d，連ad、od，易得bc⊥面aod，進而得面aod⊥面abc，過o作oh⊥ad於h，則oh⊥面abc，oh的長即為
所求，在rt中,ad=,故在rt,oh=
【點評】本題若注意到h是△abc的外心，可通過解△abc和△aho得oh。或利用體積法。
空間中的角和距離
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