第1講不等式的性質與一元二次不等式
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1．(2014·大慶質量檢測)若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是
ab.＞
c．|a|＞|bd．a2＞b2
解析取a＝－2，b＝－1，則＞不成立，選a.
答案 a
2．(2013·天津卷)設a，b∈r，則「(a－b)·a2＜0」是「a＜b」的
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
解析 (a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以「(a－b)·a2＜0」是「a＜b」的充分而不必要條件．
答案 a
3．若集合a＝＝，則實數a的取值範圍是
a．c．
解析由題意知a＝0時，滿足條件．
a≠0時，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案 d
4．(2015·泉州實驗中學模擬)若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集為，則函式y＝f(－x)的圖象為
解析由題意知a＜0，由根與係數的關係知＝－2＋1，－＝－2，得a＝
－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，圖象開口向下，與x軸交點為(－1，0)，(2，0)，故選b.
答案 b
5．(2014·浙江卷)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則
a．c≤3b．3＜c≤6
c．6＜c≤9d．c＞9
解析由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，
由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0 ①，
由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得4a－b－13＝0 ②，
由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，即6＜c≤9，故選c.
答案 c
二、填空題
6．函式y＝的定義域是________．
解析由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，
∴x≤－4或x≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是________．
解析由題意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的兩根且a＜0，
所以.解得
則不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，其解集為．
答案 8．(2014·江蘇卷)已知函式f(x)＝x2＋mx－1，若對於任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數m的取值範圍是________．
解析二次函式f(x)對於任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，
則解得－＜m＜0.
答案 三、解答題
9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈r)的解集．
解 ∵12x2－ax＞a2，
∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得x1＝－，x2＝.
①a＞0時，－＜，解集為；
②a＝0時，x2＞0，解集為；
③a＜0時，－＞，
解集為.
綜上所述，當a＞0時，不等式的解集為
；當a＝0時，不等式的解集為；
當a＜0時，不等式的解集為.
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈r)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恆成立，求a的取值範圍．
解法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函式圖象的對稱軸為x＝a.
①當a∈(－∞，－1)時，
f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恆成立，
只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，
解得－3≤a＜－1；
②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
綜上所述，所求a的取值範圍是[－3，1]．
法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恆成立，
即δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1，所以a的取值範圍是[－3，1]．
能力提公升題組
(建議用時：25分鐘)
11．(2015·大連模擬)已知函式f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，則不等式f(－2x)＜0的解集是
a.∪b.
c.∪d.
解析由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，
又其解集是(－1，3)，
∴a＜0，且解得a＝－1或(捨去)，
∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，
得4x2＋4x－3＞0，解得x＞，或x＜－，故選a.
答案 a
12．(2015·淄博模擬)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0對一切x∈(0，2]恆成立，則a的取值範圍是
ab.cd.
解析 ∵x∈(0，2]，
∴a2－a≥＝
要使a2－a≥在x∈(0，2]時恆成立，
則a2－a≥，
由基本不等式得x＋≥2，
當且僅當x＝1時，等號成立，
即＝，故a2－a≥，
解得a≤或a≥.
答案 c
13．已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恆成立，則x的取值範圍為________．
解析把不等式的左端看成關於a的一次函式，記f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
則由f(a)>0對於任意的a∈[－1，1]恆成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，聯立方程解得x<1或x>3.
答案 14．已知二次函式f(x)的二次項係數為a，且不等式f(x)>－2x的解集為(1，3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數，求a的取值範圍．
解 (1)∵f(x)＋2x>0的解集為(1，3)，
f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a
由方程f(x)＋6a＝0，
得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0
因為方程②有兩個相等的根，
所以δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
由於a<0，捨去a＝1，將a＝－代入①，
得f(x)＝－x2－x－.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a－及a<0，可
得f(x)的最大值為－.
由解得a<－2－或－2＋故當f(x)的最大值為正數時，實數a的取值範圍是
(－∞，－2－)∪(－2＋，0).
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