【2.1】氫原子光譜可見波段相鄰4條譜線的波長分別為656.47、486.
27、434.17和410.29nm，試通過數學處理將譜線的波數歸納成為下式表示，並求出常數r及整數n1、n2的數值。
解：將各波長換算成波數：
由於這些譜線相鄰，可令，……。列出下列4式：
(1)÷(2)得：
用嘗試法得m=2（任意兩式計算，結果皆同）。將m=2帶入上列4式中任意一式，得：
因而，氫原子可見光譜（balmer線繫）各譜線的波數可歸納為下式：
式中，。
【2.2】按bohr模型計算氫原子處於基態時電子繞核運動的半徑（分別用原子的折合質量和電子的質量計算並精確到5位有效數字）和線速度。
解：根據bohr提出的氫原子結構模型，當電子穩定地繞核做圓周運動時，其向心力與核和電子間的庫侖引力大小相等，即：
n=1，2，3，……
式中，和分別是電子的質量，繞核運動的半徑，半徑為時的線速度，電子的電荷和真空電容率。
同時，根據量子化條件，電子軌道運動的角動量為：
將兩式聯立，推得：
當原子處於基態即n=1時，電子繞核運動的半徑為：
若用原子的折合質量代替電子的質量，則：
基態時電子繞核運動的線速度為：
【2.3】對於氫原子：
(a)分別計算從第一激發態和第六激發態躍遷到基態所產生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線繫及所處的光譜範圍。
(b)上述兩譜線產生的光子能否使：（i）處於基態的另一氫原子電離？（ii）金屬銅中的銅原子電離（銅的功函式為）？
(c)若上述兩譜線所產生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發射出的光電子的德補羅意波的波長。
解：(a)氫原子的穩態能量由下式給出：
式中n是主量子數。
第一激發態(n＝2)和基態(n＝1)之間的能量差為：
原子從第一激發態躍遷到基態所發射出的譜線的波長為：
第六激發態(n＝7)和基態(n＝1)之間的能量差為：
所以原子從第六激發態躍遷到基態所發射出的譜線的波長為：
這兩條譜線皆屬lyman系，處於紫外光區。
（b）使處於基態的氫原子電離所得要的最小能量為：
δe∞=e∞-e1=-e1=2.18×10-18j
而 δe1=1.64×10-18j<δe∞
δe6=2.14×10-18j<δe∞
所以，兩條譜線產生的光子均不能使處於基態的氫原子電離，但是
δe1>фcu=7.44×10-19j
δe6>фcu=7.44×10-19j
所以，兩條譜線產生的光子均能使銅晶體電離。
（c）根據德布羅意關係式和愛因斯坦光子學說，銅晶體發射出的光電子的波長為：
式中δe為照射到晶體上的光子的能量和фcu之差。應用上式，分別計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上後銅晶體所發射出的光電子的波長：
【2.4】請通過計算說明，用氫原子從第六激發態躍遷到基態所產生的光子照射長度為的線型分子，該分子能否產生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請提出將不能變為能的思路。
解：氫原子從第六激發態（n=7）躍遷到基態（n=1）所產生的光子的能量為：
而分子產生吸收光譜所需要的最低能量為：
顯然，但此兩種能量不相等，根據量子化規則，不能產生吸收光效應。若使它產生吸收光譜，可改換光源，例如用連續光譜代替h原子光譜。此時可滿足量子化條件，該共軛分子可產生吸收光譜，其吸收波長為：
【2.5】計算氫原子在和處的比值。
解：氫原子基態波函式為：
該函式在r=a0和r=2a0處的比值為：
而在在r=a0和r=2a0處的比值為：
e2≈7.38906
【2.6】計算氫原子的1s電子出現在的球形介面內的概率。
解：根據波函式、概率密度和電子的概率分布等概念的物理意義，氫原子的1s電子出現在r=100pm的球形介面內的概率為：
那麼，氫原子的1s電子出現在r=100pm的球形介面之外的概率為1-0.728=0.272。
【2.7】計算氫原子的積分：，作出圖，求p(r)=0.1時的r值，說明在該r值以內電子出現的概率是90%。
解：根據此式列出p(r)-r資料表：
根據表中資料作出p(r)-r圖示於圖2.7中：
由圖可見：時，
時，時，
即在r=2.7a0的球面之外，電子出現的概率是10%，而在r=2.7a0的球面以內，電子出現的概率是90%，即：
圖2.7 p(r)-r圖
【2.8】已知氫原子的歸一化基態波函式為
(a)利用量子力學基本假設求該基態的能量和角動量；
(b)利用維里定理求該基態的平均勢能和零點能。
解：（a）根據量子力學關於「本徵函式、本徵值和本徵方程」的假設，當用hamilton算符作用於ψ1s時，若所得結果等於一常數乘以此ψ1s,則該常數即氫原子的基態能量e1s。氫原子的hamiltton算符為：
由於ψ1s的角度部分是常數，因而與θ，ф無關：
將作用於ψ1s，有：
（r=a0）
所以=…=-2.18×10-18j
也可用進行計算，所得結果與上法結果相同。
注意：此式中。
將角動量平方算符作用於氫原子的ψ1s，有：
=0ψ1s
所以 m2=0
|m|=0
此結果是顯而易見的：不含r項，而ψ1s不含θ和ф，角動量平方當然為0，角動量也就為0。
通常，在計算原子軌道能等物理量時，不必一定按上述作法、只需將量子數等引數代人簡單計算公式，如：
即可。（b）對氫原子，，故：
此即氫原子的零點能。
【2.9】已知氫原子的，試回答下列問題：
(a)原子軌道能e=?
(b)軌道角動量|m|=?軌道磁矩|μ|=?
(c)軌道角動量m和z軸的夾角是多少度？
(d)列出計算電子離核平均距離的公式（不算出具體的數值）。
(e)節面的個數、位置和形狀怎麼樣？
(f)概率密度極大值的位置在何處？
(g)畫出徑向分布示意圖。
解：（a）原子的軌道能：
（b）軌道角動量：
軌道磁矩：
（c）軌道角動量和z軸的夾角：
， （d）電子離核的平均距離的表示式為：
（e）令，得：
r=0，r=∞，θ=900
節面或節點通常不包括r=0和r=∞，故的節面只有乙個，即xy平面（當然，座標原點也包含在xy平面內）。亦可直接令函式的角度部分，求得θ=900。
（f）機率密度為：
由式可見，若r相同，則當θ=00或θ=1800時ρ最大（亦可令，θ=00或θ=1800），以表示，即：
將對r微分並使之為0，有：
解之得：r=2a0（r=0和r=∞捨去）
又因：所以，當θ=00或θ=1800，r=2a0時，有極大值。此極大值為：
（g）根據此式列出d-r資料表：
按表中資料作出d-r圖如下：
圖2.9 h原子的d-r圖
由圖可見,氫原子的徑向分布圖有n-l＝1個極大(峰)和n-l-1＝0個極小(節面)，這符合一般徑向分布圖峰數和節面數的規律。其極大值在r＝4a0處。這與最大機率密度對應的r值不同，因為二者的物理意義不同。
另外，由於徑向分布函式只與n和l有關而與m無關，2px、2py和2pz的徑向分布圖相同。
【2.10】對氫原子，，所有波函式都已歸一化。請對所描述的狀態計算：
(a)能量平均值及能量出現的概率；
(b)角動量平均值及角動量出現的概率；
(c)角動量在z軸上的分量的平均值及角動量z軸分量出現的概率。
解：根據量子力學基本假設ⅳ-態疊加原理，對氫原子所描述的狀態：
(a)能量平均值
能量出現的概率為
(b)角動量平均值為
角動量出現的概率為
(c)角動量在z軸上的分量的平均值為
角動量z軸分量h/π出現的概率為0。
【2.11】作氫原子圖及圖，證明極大值在處，說明兩圖形不同的原因。
解：h原子的
分析和隨r的變化規律，估計r的變化範圍及特殊值，選取合適的r值，計算出和列於下表：
*從物理圖象上來說，r只能接近於0。
根據表中資料作圖及圖如下：
圖2.11 圖和d1s-r圖
【2.12】試在直角座標系中畫出氫原子的5種3d軌道的輪廓圖，比較這些軌道在空間的分布，正、負號，節面及對稱性。
解：5種3d軌道的輪廓圖如圖2.12所示。它們定性地反映了h原子3d軌道的下述性質：
(1)軌道在空間的分布：的兩個極大值分別在z軸的正、負方向上距核等距離處，另一類極大值則在平面，以核為心的圓周上。其餘4個3d軌道彼此形狀相同，但空間取向不同。
其中分別沿軸和軸的正、負方向伸展，,和的極大值（各有4個）夾在相應的兩座標之間。例如，的4個極大值（若以極座標表示）分別在,;,;,和,方向上。
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