例1(物資調運優化): 假設物資排程部門計畫將某種物資從若干個儲存倉庫，調運到若干個銷售網點。考慮到物資的時效性和銷售效益，排程部門希望物資在運輸過程中盡可能快地到達目的地；考慮到運輸的成本，排程部門還希望物資的總運輸費用最小。
假設個倉庫的物資庫存量為，…，（單位：t)；個銷售網點預計銷售量為，…，（單位：t)。
倉庫i與銷售網點j之間的路程為(單位：km)，單位物資的運費為（元）。
用物資噸公里總數來衡量物資的運輸品質，噸公里總數最小意味著有適量的物資盡可能快地到達目的地。
記從倉庫i到銷售網點j運送的物資量為。
目標函式：
（1）物資在運輸過程中的噸公里總數為
（2）物資運輸費用總和為
約束條件為產銷平衡條件：
優化問題模型：
多目標規劃（mop）問題描述:
稱為向量值目標函式。變數可行域記為
s的像集稱為目標可行域，z中的元素稱為目標向量。
如果不指明約束函式的具體形式，多目標規劃問題可以簡記為
若每個目標函式都是凸函式，並且可行域s是凸集，則（mop）稱為多目標凸規劃問題。
在討論向量集的有效點之前，約定如下記號：對於任意兩個向量
令（1）（2）
（3）（4）
（5）定義1：給定乙個向量集，對於點，若，有，則稱是x的絕對最小點（即絕對最小向量）。若不存在，使得（），則稱是x的有效點（弱有效點）。
集合x的所有絕對最小點、有效點和弱有效點的集合分別記為，和。
例2：考慮橢圓。
從幾何上看，表示橢圓的左下部（包括端點）。
約定：非負錐：
正錐：定理1：給定，考慮下面條件：
（1）對某，函式（）在處取到最小值；
（2）對某個，，函式（）在處取到嚴格最小值；
（3）對某個，，函式（）在處取到最小值。
若條件（1）或（2）成立，則是x的有效點。
若條件（3）成立，則是x的弱有效點。
考慮形如式（1）-（3）的多目標規劃問題，變數可行域，目標可行域。
定義2：給定一可行點，若，有，則稱為問題(mop）的絕對最優解（絕對最小解）。若不存在，使得() , 則稱為問題（mop）的有效解（弱有效解）。
問題（mop）有效解也稱pareto最優解。將問題（mop）絕對最優解、有效解、弱有效解集合分別記為，和。
多目標規劃的（弱）有效解與其目標可行域的（弱）有效點之間有緊密的聯絡，概括為如下定理：
定理2：對於問題（mop)，令表示目標函式在定義域s上的值域（目標可行域）,z的有效點集和弱有效點集分別記為和，則（mop）的有效解集和弱有效解集，由下面式子給出：
（1）（2）
解集合，和之間的關係，有如下定理：
定理3：對多目標規劃問題（mop)，必有
（1）（2）當時，
（3）若可行域s為凸集，f是s上嚴格凸的向量值函式，則。
如果記單目標優化問題
的最小點的集合為，那麼多目標規劃問題的絕對最優解的集合
此外，容易證明成立。
根據定理3，有如下結論：
例3：求解兩目標優化問題
其中。記目標,。
單目標優化問題的最優解集，,故絕對最優解集。該問題的目標可行域為
根據z的（弱）有效點定義以及定理2，該問題的有效解集與弱有效解集相等。特別地，。
例4：求解兩目標優化問題
其中。記目標,.
單目標優化問題最優解集，,故絕對最優解集。
根據定理3中結論(3)，該問題的有效解集與弱有效解集相等.另外，該問題的目標可行域z為
根據z的（弱）有效點定義，可以知道
利用定理2，有。
多目標規劃問題（mop）的本質在於：各個子目標有可能是相互矛盾的，乙個子目標的改善有可能引起另乙個子目標的惡化，同時使所有子目標都達到最優值一般是不可能的，只能是在這多個子目標之間進行協調和權衡，使各個子目標盡可能地達到理想值。
多目標規劃問題的直接解法，就是尋找它的整個最優解集（pareto有效解集）。除了特殊的情形，計算所有的最優解是比較困難的，因為確定整個有效解集的問題是np-hard的。
目前對直接解法的研究結果還比較少，主要採用間接解法。
直接解法的最新進展——多目標遺傳演算法（moga）。
多目標規劃pareto最優解一般是乙個集合。由於ga是對整個群體所進行的進化運算操作，它處理的是個體的集合，這種相似性使得ga可以作為求解多目標規劃問題的pareto最優解集的乙個有效手段。
注1：間接解法的共同特點：
將多目標規劃問題轉化為乙個或多個單目標優化問題。
通過求解單目標優化問題得到（mop）的乙個或多個最優解。
一般並不要求間接解法給出問題的所有最優解。
基本思想：首先將原來的多目標規劃問題（mop）轉化成乙個單目標優化問題；然後利用非線性優化演算法求解該單目標問題，把所求得的最優解作為問題(mop）的最優解．
— 線性加權和法
— 主要目標法
— 理想點法
— 極小化極**
這類方法的核心：保證所構造的單目標問題的最優解是（mop）的有效解或者弱有效解．
線性加權和法：
根據個目標函式的重要程度，分別賦予一定的權係數，然後將所有的目標函式加權求和作為新的目標函式，在（mop）的可行域s上求出新目標函式的最優值。
問題轉化為如下單目標優化問題：
（）其中。f, g, h為向量值函式。
主要目標法：
根據實際情況，首先確定乙個目標函式為主要目標，不妨假設為主要目標，而把其餘的個目標函式作為次要目標。
然後借助於決策者的經驗，通過選定一定的界限值（），把次要目標轉化為約束條件，通過求解如下的單目標優化問題獲得問題（mop）的最優解：
（）基本思想：根據某種規則，首先將（mop）問題轉化為有一定次序的多個單目標優化問題；然後，依次分別求解這些單目標優化問題，並且把最後乙個單目標優化問題的最優解作為原問題的最優解。
— 分層排序法
— 重點目標法
— 分組排序法
這類方法的核心：保證最後乙個單目標優化問題的最優解是（mop）的有效解或者弱有效解。
分層排序法：
根據目標的重要程度將它們一一排序；然後分別在前乙個目標的最優解集中，尋找後乙個目標的最優解集，並把最後乙個目標的最優解集作為問題（mop）的最優解。
首先，通過求解單目標問題
得到的最優解集。然後對於，依次求解單目標優化問題
得到的最優解集。最後，將中的點作為（mop）的最優解。
重點目標法：
在p個目標函式中，首先確定最重要的目標，比如，並且在s上求出的最優解集；然後，在上求解其餘個目標對應的多目標規劃問題
把（mop'）的有效解或弱有效解作為（mop）的最優解．
在求解問題（mop'）時，可以利用前面介紹的方法，將（mop'）轉化為乙個單目標優化問題求解。
分組排序法：
根據某種規則，首先將（mop）的目標分成若干個組，使得在每個組內的目標的重要程度相差不多，此時，每組目標實際上對應著乙個新的多目標規劃問題；
然後，依次在前一組目標對應問題的最優解集中，尋找後一組目標對應問題的最優解集，並把最後一組目標對應問題的最優解作為（mop）的最優解．
注2：分組排序法實際上是分層排序法的推廣形式。
分層排序法是針對單個的目標進行分層，求解相應的單目標優化問題;
分組排序法則是對一些目標的集合進行分層，求解相應的小規模多目標規劃問題．
1 求解雙目標優化問題
2對於雙目標優化問題
（1） 若取權向量，試利用線性加權和法求出乙個有效解；
（2） 利用線性加權和法能否求出該問題的所有有效解？
（3） 你能求出該問題的有效解集嗎？
Matlab學習系列27多目標規劃
27.多目標規劃 一 線性規劃的侷限性 1.線性規劃要求所求解問題必須滿足全部的約束，而實際問題中並非所有約束都需要嚴格的滿足 2.線性規劃只能處理單目標的優化問題，從而對一些次目標只能轉化為約束處理，而實際問題中，目標和約束是可以相互轉化的，處理時不一定要嚴格區分 3.線性規劃在處理問題時，將各個...
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