知識結構框圖
一、二次函式的概念
形如（a，b，c是常數，a≠0）的函式，叫做二次函式，其中，是自變數，分別是函式表示式的二次項係數，一次項係數和常數項。
這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
二、二次函式的一般表示式
1、 一般式：（，，為常數，）；
2、 頂點式：（，，為常數，）其中；
3、 雙根式：
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
三、二次函式的影象性質(軸對稱圖形)
1. 當時，拋物線開口向上，
對稱軸為，
頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；
當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
四、二次函式的影象與各項係數之間的關係
1.二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
總結： 3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
五、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
影象與軸的交點個數：
① 當時，影象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根． 和的一半恰好是對稱軸的橫座標.
② 當時，影象與軸只有乙個交點；
③ 當時，影象與軸沒有交點.
當時，影象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，影象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的影象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的影象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；或者依據函式特點確定自變數能使函式取得最大值的值，並將其帶入到表示式中求出最值；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
（4）二次函式與一次函式的交點，可通過聯立方程求解，從而求出交點座標。
六、二次函式的幾個特殊的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
總結：2. 的性質：
結論：上加下減。
總結：3. 的性質：
結論：左加右減。
總結：4. 的性質：
總結：七、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
二次函式知識點及其應用的總結
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