有關圓的經典例題
1.分析：根據題意，需要自己畫出圖形進行解答，在畫圖時要注意ab與ac有不同的位置關係。
解：由題意畫圖，分ab、ac在圓心o的同側、異側兩種情況討論，
當ab、ac在圓心o的異側時，如下圖所示，
過o作od⊥ab於d，過o作oe⊥ac於e，
∴∠oad=30°，∠oae=45°，故∠bac=75°，
當ab、ac在圓心o同側時，如下圖所示，
同理可知∠oad=30°，∠oae=45°，
∴∠bac=15°
點撥：本題易出現只畫出一種情況，而出現漏解的錯誤。
例2. 如圖：△abc的頂點a、b在⊙o上，⊙o的半徑為r，⊙o與ac交於d，
（1）求證：△abc是直角三角形；
分析：則af=fb，od⊥ab，可證df是△abc的中位線；
（2）延長do交⊙o於e，連線ae，由於∠dae=90°，de⊥ab，∴△adf
解：（1）證明，作直徑de交ab於f，交圓於e
又∵ad=dc
∴ab⊥bc，∴△abc是直角三角形。
（2）解：鏈結ae
∵de是⊙o的直徑
∴∠dae=90°
而ab⊥de，∴△adf∽△eda
例3. 如圖，在⊙o中，ab=2cd，那麼（ ）
分析：解：解法（一），如圖，過圓心o作半徑of⊥ab，垂足為e，
∵在△afb中，有af+fb>ab
∴選a。
解法（二），如圖，作弦de=cd，鏈結ce
在△cde中，有cd+de>ce
∴2cd>ce
∵ab=2cd，∴ab>ce
∴選a。
例4.求cd的長。
分析：鏈結bd，由ab=bc，可得db平分∠adc，延長ab、dc交於e，易得△ebc∽△eda，又可判定ad是⊙o的直徑，得∠abd=90°，可證得△abd≌△ebd，得de=ad，利用△ebc∽△eda，可先求出ce的長。
解：延長ab、dc交於e點，鏈結bd
∵⊙o的半徑為2，∴ad是⊙o的直徑
∴∠abd=∠ebd=90°，又∵bd=bd
∴△abd≌△ebd，∴ab=be=1，ad=de=4
∵四邊形abcd內接於⊙o，
∴∠ebc=∠eda，∠ecb=∠ead
例5.於h，交⊙o於點e，交ac於點f，p為ed的延長線上一點。
（1）當△pcf滿足什麼條件時，pc與⊙o相切，為什麼？
分析：由題意容易想到作輔助線oc，
（1）要使pc與⊙o相切，只要使∠pco=90°，問題轉化為使∠oca+∠pcf=∠fah+∠afh就可以了。
解：（1）當pc=pf，（或∠pcf=∠pfc）時，pc與⊙o相切，
下面對滿足條件pc=pf進行證明，
鏈結oc，則∠oca=∠fah，
∵pc=pf，∴∠pcf=∠pfc=∠afh，
∵de⊥ab於h，∴∠oca+∠pcf=∠fah+∠afh=90°
即oc⊥pc，∴pc與⊙o相切。
即ad2=de·df
點撥：本題是一道條件探索問題，第（1）問是要探求△pcf滿足什麼條件時，pc與⊙o相切，可以反過來，把pc與⊙o相切作為條件，探索△pcf的形狀，顯然有多個答案；第（2）問也可將ad2=de·df作為條件，尋找兩個三角形相似，探索出點d的位置。
例6.d作半圓的切線交ab於e，切點為f，若ae：be=2：1，求tan∠ade的值。
分析：要求tan∠ade，在rt△aed中，若能求出ae、ad，根據正切的定義就可以得到。ed=ef+fd，而ef=eb，fd=cd，結合矩形的性質，可以得到ed和ae的關係，進一步可求出ae：
ad。解：∵四邊形abcd為矩形，∴bc⊥ab，bc⊥dc
∴ab、dc切⊙o於點b和點c，
∵de切⊙o於f，∴df=dc，ef=eb，即de=dc+eb，
又∵ae：eb=2：1，設be=x，則ae=2x，dc=ab=3x，
de=dc+eb=4x，
在rt△aed中，ae=2x，de=4x，
點撥：本題中，通過觀察圖形，兩條切線有公共點，根據切線長定理，得到相等線段。
例7. 已知⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，且點o2在⊙o1上，
（1）如下圖，ad是⊙o2的直徑，鏈結db並延長交⊙o1於c，求證co2⊥ad；
（2）如下圖，如果ad是⊙o2的一條弦，鏈結db並延長交⊙o1於c，那麼co2所在直線是否與ad垂直？證明你的結論。
分析：（1）要證co2⊥ad，只需證∠co2d=90°，即需證∠d+∠c=90°，考慮到ad是⊙o2的直徑，鏈結公共弦ab，則∠a=∠c，∠dba=90°，問題就可以得證。
（2）問題②是一道探索性的問題，好像難以下手，不妨鏈結ac，直觀上看，ac等於cd，到底ac與cd是否相等呢？考慮到o2在⊙o1上，鏈結ao2、do2、bo2，可得∠1=∠2，且有△ao2c≌△do2c，故ca=cd，可得結論co2⊥ad。
解：（1）證明，鏈結ab，ad為直徑，則∠abd=90°
∴∠d+∠bad=90°
又∵∠bad=∠c，∴∠d+∠c=90°
∴∠co2d=90°，∴co2⊥ad
（2）co2所在直線與ad垂直，
證明：鏈結o2a、o2b、o2d、ac
在△ao2c與△do2c中
∵∠o2bd=∠o2ac，又∠o2bd=∠o2db，∴∠o2ac=∠o2db
∵o2c=o2c，∴△ao2c≌△do2c，∴ca=cd，
∴△cad為等腰三角形，
∵co2為頂角平分線，∴co2⊥ad。
例8. 如下圖，已知正三角形abc的邊長為a，分別為a、b、c為圓心，
積s。（圖中陰影部分）
分析：陰影部分面積等於三角形面積減去3個扇形面積。
解：分析：因三個扇形的半徑相等，把三個扇形拼成乙個扇形來求，因為∠a+∠b+∠c=180°，
原題可在上一題基礎上進一步變形：⊙a1、⊙a2、⊙a3…⊙an相外離，它們的半徑都是1，順次鏈結n個圓心得到的n邊形a1a2a3…an，求n個扇形的面積之和。
解題思路同上。
解：一、填空題（10×4=40分）
1. 已知：乙個圓的弦切角是50°，那麼這個弦切角所夾的弧所對的圓心角的度數為
2. 圓內接四邊形abcd中，如果∠a：∠b：∠c=2：3：4，那麼∠d度。
3. 若⊙o的半徑為3，圓外一點p到圓心o的距離為6，則點p到⊙o的切線長為
4. 如圖所示cd是⊙o的直徑，ab是弦，cd⊥ab於m，則可得出am=mb，等多個結論，請你按現有的圖形再寫出另外兩個結論
5. ⊙o1與⊙o2的半徑分別是3和4，圓心距為，那麼這兩圓的公切線的條數是
6. 圓柱的高是13cm，底面圓的直徑是6cm，則它的側面展開圖的面積是
7. 已知：如圖所示，有一圓弧形橋拱，拱的跨度ab=16cm，拱高cd=4cm，那麼拱形的半徑是
8. 若pa是⊙o的切線，a為切點，割線pbc交⊙o於b，若bc=20，pa=，則pc的長為
9．如圖5，△內接於⊙o，點是上任意一點（不與重合），的取值範圍是
10．如圖，量角器外沿上有a、b兩點，它們的讀數分別是70°、40°，則∠1的度數為
11．已知的半徑是3，圓心o到直線l的距離是3，則直線l與的位置關係是
12．如圖，已知點e是圓o上的點， b、c分別是劣弧的三等分點， ，則的度數為
13．如圖，中，，．將繞所在的直線旋轉一周得到乙個旋轉體，該旋轉體的側面積 ．（取3.14，結果保留兩個有效數字）
14．如圖8，兩個同心圓的半徑分別為2和1，，則陰影部分的面積為
15．如圖，是的直徑，為弦，，過點的的切線交延長線於點．若，則的半徑為 cm．
16．如圖，是由繞點順時針旋轉而得，且點在同一條直線上，在中，若，，，則斜邊旋轉到所掃過的扇形面積為
17．如圖，從圓o外一點引圓o的兩條切線，切點分別是，若，是上的乙個動點（點與兩點不重合），過點作圓o的切線，分別交於點，則的周長是 ．
18、在平面內，⊙o的半徑為5cm，點p到圓心o的距離為3cm，則點p與⊙o的位置關係是
19．如圖8，在中，．將其繞點順時針旋轉一周，則分別以為半徑的圓形成一圓環．則該圓環的面積為
20．如圖9，點是上兩點，，點是上的動點（與不重合）鏈結，過點分別作於點，於點，則
三、解答題：
1. 已知：如圖所示，⊙o1和⊙o2相交於a、b兩點，過b點作⊙o1的切線交⊙o2於d，鏈結da並延長與⊙o1相交於c點，鏈結bc。
過a點作ae∥bc與⊙o2相交於e點，與bd相交於f點。
（1）求證：ef·bc=de·ac；
（2）若ad=3，ac=1，af，求ef的長。
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例1 如圖，四邊形內接於 o，是 o的直徑，垂足為，平分 1 求證 是 o的切線 2 若，求的長 例2 如圖，o是 abc的外接圓，且ab ac，點d在弧bc上運動，過點d作de bc，de交ab的延長線於點e，鏈結ad bd 1 求證 adb e 2 當點d運動到什麼位置時，de是 o的切線？請說...