結構優化的理論和方法
第七章：工程優化中的**模型
趙國忠工程力學系計算力學與cae研究室
工業裝備結構分析國家重點實驗室
綜合實驗樓1號樓513
84708769(o), 工程優化中的**模型
7.1 引言
現實中遇到的問題：
某些物理響應和某些因素有關，各個因素採用不同的值會產生不同的物理響應值，但響應值和因素之間具體的關係並不清楚。
希望根據一些已知的材料、記錄來大概估計兩者之間某種近似的表達，以便於對以後的設計、實驗有個評價標準。(**模型)
7.1 引言
9在進行大型複雜系統與多學科結構優化時，常常會因迭代次數過多、計算量太大、試驗次數多導致優化週期相當漫長而無法實施，浪費計算與試驗成本，另外對於某些沒有顯式函式模型的結構優化，很難進行。
9為了解決這類問題，近似模型（**模型）方法便被引入到結構優化領域。
9國內近似模型研究最多的是西北工業大學、國防科技大學、北航、南航，大連理工，將此方法廣泛應用於飛行器、**及民用工程的多學科優化問題中。
7.1 引言
**模型：
所謂**模型，是指在不降低精度的情況下構造的乙個計算量小、計算周期短但計算結果與數值分析或物理試驗結果相近的數學模型來「**」原來比較複雜的問題.
**模型包含試驗設計與近似方法兩部分內容。
構造**模型的三個步驟：
1.通過試驗設計方法，在設計空間中確定構造模型所用樣本點。撒點的
好壞決定了所求解的模型是否更接近實際。
2.利用分析軟體或試驗方法確定各樣本點處的響應值。
3.以一部分樣本對為基礎，尋找乙個適合的數學近似模型，使擬合函式
值與樣本測試值符合得最好，並利用剩餘的樣本對對模型進行檢驗。
如果模型擬合與**精度都滿足要求，就結束;否則構造新的數學模型，直到其擬合與**精度滿足要求為止。
構造**模型的逼近精度很大程度上取決於試驗點在設計空間中的位置分布，因此試驗點的選擇應當遵從一定的準則，以便只取較少的點就能達到較高的精度，這就是試驗設計（doe ）學科所討論的內容。試驗設計是以概率論與數理統計學為理論基礎，為獲得可靠試驗結果和有用資訊，科學安排試驗的一種方**，也是研究如何高效而經濟地獲取所需要的資料與資訊的理論。
20世紀初由英國統計學家費歇爾首先提出。
試驗設計方法決定了如何合理安排試驗，決定了**模型的取樣策略，決定了構造**模型所需樣本點的個數和這些點的空間分布情況。7.2 **模型的取樣方法
試驗設計方法：
全析因試驗設計
部分析因試驗設計
中心復合設計
拉丁超立方取樣
d-最優設計
正交試驗設計
均勻試驗設計…
通常的取樣方法：
7.2 **模型的取樣方法
7.21：全析因試驗設計
水平，2設計變數數的3水平，3設計變數數的
7.2：部分析因試驗設計
3水平，3設計變數
7.2 **模型的取樣方法
均勻均勻試驗設計設計：均勻設計是通過一套精心設計的表進行的試驗設計方法。
均勻設計具有如下特性：
1 試驗點分布均勻分散；
2 在處理設計中各個因素每個水平只出現一次；
3 適用於多水平多因素模型擬合及優化試驗；
4 試驗結果採用回歸分析方法。
比正交試驗設計方法具有更少的樣本點。
7.2第三批試驗是在每個因素的座標軸上，取臂長為士a的兩個對稱點作為試驗
中心復合法試驗設計圖
表面-中心復合法
外接中心復合法
內切中心復合法
中心法最適合構造二階響應面
當設計變數的數目比較大時，中心法需要的樣本數量比較多。一般認為設計變數小於6時採用中心法比較合適7.2 **模型的取樣方法
中心復合法的特點：
中心復合法三種主要變化形式：
**模型的取樣方法
7.24：拉丁超立體法設計
z 拉丁法在估計響應函式值的平均值、方差和分布函式等方面精度比較高。能處理設計變數很多的問題，計算量不大，操作簡單。樣本數量可控。z
拉丁法中每個設計變數在其變化範圍內均勻分層取樣，設計點是這些樣本的隨機組合，因此在整個設計空間中分布可能不均勻。7.2 **模型的取樣方法
拉丁法的特點：
7.2 **模型的取樣方法
其他取樣方法
蒙特卡洛方法
d-最優試驗設計
向後中心展開方法
單純形設計方法
格仔取樣
分層取樣
hammerseley序列取樣方法
…7.3
7.3 **模型的近似函式構造方法
**模型的函式構造方法:
9響應面方法(r**)
9kriging方法。
9徑向基函式方法(rbf)
9神經網路模型
9…7.4 響應面方法
響應面法是由數學家g.e.p.box和k.b.wilson及其同事於2023年在英格蘭的imperial chemical industries（帝國化學工
業公司）正式發展提出。
響應面法（response su***ce methodology ）的思想是對採集到的設計空間內的點及其響應值進行處理，得到顯式或隱式的設計點與響應值之間的映像關係。可以把這種響應面看做乙個黑匣子，它在幾何上是乙個多維空間的曲面。
7.4 響應面方法
7.4.1 響應面函式的選擇
選取適當的近似函式模型，確定相應的係數以得出響應函式。在響應面方法中處於中心地位。
常見的響應面函式有一階多項式，二階完全和不完全多項式，非線性函式。
z對於低曲度問題，可用一階多項式作響應面函式。
z對於高曲度問題，可用完全二階多項式作響應面函式。z對於任意形狀的非線性函式，可用高階多項式模擬。
7.4**模型近似方法，其數學表示式如下所示：
：β矩陣：7.4.2 響應面方法的原理
；向量7.4.3 響應面方法的特點
優點1）應用廣泛。響應面技術在多學科設計優化、結構優化設計、結構可靠性分析設計等方面有廣泛應用；
2) 多項式響應面模型具有良好的連續性和可導性，能較好的去除數字
雜訊的影響，極易實現尋優;
3) 可以根據插值函式中各分量的係數的大小，判斷各項引數對整個系
統響應影響的大小。
不足1.隨著設計變數的增多，為了達到一定精度，構造響應面所需的
初始設計點及相應的響應數量呈設計空間維數的指數增加，計
算響應所需要的系統分析次數急劇增加，因此響應面技術目前
主要用於規模不大的設計問題。
2.響應面方法建構函式形式簡單，主要適用於非線性不是很強的
問題，工程中應用比較多的是二階響應面。
為了提高結構可靠指標的計算精度，bucher 於2023年提出了二次響應面法。
2023年l.p.khoo 和c.h.chen 提出響應面法與遺傳演算法相結合。
…7.4 響應面方法
7.4.4 響應面方法的研究進展改進
為了提高非線性近似能力，廣義多項式響應面模型( 用g i (x )來代替插值函式中的x i )
7.5 kriging方法
7.5.1 kriging方法的定義和歷史
kriging(克立格)模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它通過相關函式的作用，具有區域性估計的特點。
該方法最早由南非地質學者danie krige於2023年提出;
在被引入優化領域之前主要廣泛應用於地質界，用來確定礦產儲量分布;
giunta在博士**中對kriging方法在優化中的應用作了初步研究，並將該方法與多項式方法作了對比。
7.5.2 kriging方法的原理
kriging**模型是由乙個引數模型和乙個非引數隨機過程聯合構成的。其系統的響應值與自變數之間的真實關係可以表示成如下的形式：
其中g(x)是乙個確定性部分，稱為確定性漂移，一般用多項式表示，提供模擬的全域性近似，z(x)為隨機分布的誤差，提供對模擬區域性偏差的近似。
z(x)稱為漲落，具有如下性質：
r(c, x, x i)是以c為引數的相關函式，而r中常用核函式有：
7.5.2 kriging
方法的原理其中d j 是表徵待測點與樣本點之間距離關係的量，c j 是核函式在樣本點第j 個方向的常數參量。
其中x j 為待測點在第j 個方向的座標，x i j 為樣本點在該方向的座標從z(x)的統計特性可以得到:
取利用樣本點x i 的響應值的線性加權疊加插值來計算待測點x 的響應值，可以得到:相關函式可取：
7.5.2 kriging
(2)7.5.2 kriging
方法的原理
把權函式代入擬合函式得：
的，故而求解待測點的系統響應值時只要計算g(x)和r(x) ，而g(x)通常是通過回歸分析確定，所以實際應用中，計算工作主要是集中在求解向量r(x)上。
7.5.3 kriging 方法的特點
優點1) 在相關函式的作用下，kriging 方法具有區域性估計的特點，這使其在解決非線性程度較高的問題時比較容易取得理想的擬合效果;
2) 輸入向量各方向的核函式的引數c j 可以取不同值，所以既可以用來決定各向同性問題也可以用來解決各向異性問題。
不足z kriging 方法中各方向的引數c j 是存在最優值的，不過對c j 的尋優會
耗費大量的計算時間，各向異性的高維問題中顯得特別突出，造成了構造kriging 模型所用計算時間要比其他幾種模型多。
7.6 徑向基函式方法
7.6.1 徑向基函式方法介紹
徑向函式是一類以待測點與樣本點之間的歐氏距離為自變數的函式，以徑向函式為基函式，通過線性疊加構造出來的模型即為徑向基函式模型。
徑向基函式很多特性目前正處在研究之中。
7.6.1 徑向基函式方法介紹
徑向基函式的基本思想：
首先確定一組樣本點
x i=(i=1,2…,n)，
然後以這些樣本點為中心，以徑向函式為基函式，通過這些基函式的線性疊加來計算待測點x處的響應值。通過歐氏距離，徑向基函式把乙個多維問題轉化成以歐氏距離為自變數的一維問題。
7.6.2
在樣本點不重合，且函式ф(r)為正定函式時存在唯一解：
常用的徑向函式有：
c 是給定的大於零的常數。
共同特性：在任意維空間正定。
7.6.2 徑向基函式方法的原理
7.6.3 徑向基函式方法的特點
7.7 人工神經網路
略7.8 函式構造方法總結
9響應面方法建構函式形式簡單，主要適用於非線性不是很強的問題，工程中應用比較多的是二階響應面。
9徑向基函式方法和kriging方法建構函式形式相對複雜，主要適用於非線性問題。
9神經網路實現了從輸入到輸出的對映關係，可是其中間過程對建模者來說是不可知，無法像其他模型那樣去判斷各輸入因素的影響大小，有「黑箱」效應。
9響應面+人工神經網路
7.9 **模型在優化中的應用
王希誠教授課題組把kriging 方法用於注塑成型和藥物分子對接的優化設計的研究；
隋允康教授課題組把響應面方法用於結構優化設計的工作;陳飈松老師最近開發了基於**模型的優化軟體系統…
**模型近似估算設計空間內任一組設計對應的響應值大小，而不用有限元進行求解，在精度要求不是很高的情況下，可以當做響應值，節省時間與計算成本。
7.97.9
函式近似模型採用徑向基函式方法，基函式選取多二次型，檢驗引數c 選取10.8，得到一階頻率關於7個設計變數的
函式關係式：
7.9 **模型在優化中的應用
函式關係式續：7.9 **模型在優化中的應用
7.9一階模態和設計變數x 5,x 7
的關係7.9 **模型在優化中的應用
第七章：工程優化中的**模型
結構混凝土設計原理第七章
第七章習題 一 填空題 1 按照構件的長細比不同，軸心受壓構件可分為 和 兩種。2 縱向受力鋼筋沿圓周均勻布置，其截面面積應不小於螺旋形或焊接環形箍筋圈內混凝土核芯截面面積的 構件核芯混凝土截面面積應不小於整個截面面積的 3 橋規 規定，螺旋箍筋的間距應不大於核芯混凝土直徑的 亦不大於 也不宜小於 ...
鋼結構第七章
第七章7.9解 鋼材為q235鋼，焊條為e43型，則角焊縫的強度設計值。圖示連線為不等肢角鋼長肢相連，故k1 0.65，k2 0.35。焊縫受力 所需焊縫計算長度，肢背 肢尖 側面焊縫實際施焊長度，肢背 取240mm 肢尖 取170mm。7.11解 取 焊縫有效截面的形心位置 所選焊腳尺寸滿足強度要...
第七章樓梯結構設計計算
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