初中數學公式大全

初中數學常用的概念、公式和定理

1. 整數(包括:正整數、0、負整數)和分數(包括:有限小數和無限環循小數)都是有理數.

如:－3,,0.231,0.

737373…,,.無限不環循小數叫做無理數..如:

π,－,0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0).有理數和無理數統稱為實數.

2. 絕對值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=－a.

如:丨－丨=;丨3.14－π丨=π－3.14.

3.乙個近似數,從左邊笫乙個不是0的數字起,到最末乙個數字止,所有的數字,都叫做這個近似數的有效數字.如:

0.05972精確到0.001得0.

060,結果有兩個有效數字6,0.

4.把乙個數寫成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整數),這種記數法叫做科學記數法.

如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

5.被開方數的小數點每移動2位,算術平方根的小數點就向相同方向移動1位;被開方數的小數點每移動3位,立方根的小數點就向相同方向移動1位.

如:已知=0.4858,則=48.58;已知=1.558,則=0.1588.

6.整式的乘除法:①幾個單項式相乘除,係數與係數相乘除,同底數的冪結合起來相乘除.

②單項式乘以多項式,用單項式乘以多項式的每乙個項.③多項式乘以多項式,用乙個多項式的每一項分別乘以另乙個多項式的每一項.④多項式除以單項式,將多項式的每一項

分別除以這個單項式.

7.冪的運算性質:①am×an=am+n.

②am÷an=am－n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.

⑤()n=n.⑥a－n=n,特別:()－n=()n.

⑦a0=1(a≠0).

如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－,5－2==,()－2=()2=,(－3.14)0=1,(－)0=1.

8.乘法公式(反過來就是因式分解的公式):①(a+b)(a－b)=a2－b2.

②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3.④(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3;a2+b2=(a+b)2－2ab,(a－b)2=(a+b)2－4ab.

9.選擇因式分解方法的原則是:先看能否提公因式.

在沒有公因式的情況下:二項式用平方差公式或立方和差公式,三項式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三項以上用分組分解法.注意:

因式分解要進行到每乙個多項式因式都不能再分解為止.

10.分式的運算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,並顛倒除式,約分後相乘;加減法應先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:結果要化為最簡分式.

11.二次根式:①()2=a(a≥0),②=丨a丨,③=×,④=(a>0,b≥0).

如:①(3)2=45.②=6.③a<0時,=－a.④的平方根=4的平方根=±2.

12.一元二次方程:對於方程:

ax2+bx+c=0:①求根公式是x=,其中=b2－4ac叫做根的判別式.當δ>0時,方程有兩個不相等的實數根;當δ=0時,方程有個相等的實數根;當δ<0時,方程沒有實數根.

注意:當δ≥0時,方程有實數根.③若方程有兩個實數根x1和x2,則

x1+x2=－,x1x2=,並且二次三項式ax2+bx+c可分解為a(x－x1)(x－x2).④以a和b為根的一

元二次方程是x2－(a+b)x+ab=0.

13.解分式方程(去分母或換元)和無理方程(兩邊平方或換元)必須檢驗.形如:

的方程組,用代入法解;形如:的方程組,先把乙個方程分解為兩個一次方程,再把這兩個方程分別與另乙個方程組合成兩個方程組,再用代入法分別解這兩個方程組.

14.不等式兩邊都乘以或除以同乙個負數,不等號要改變方向.

15.平面直角座標系:①各限象內點的座標如圖所示.

②橫軸(x軸)上的點,縱座標是0;縱軸(y軸)上的點,橫座標是0.

③關於橫軸對稱的兩個點,橫座標相同(縱座標互為相反數);

關於縱軸對稱的兩個點,縱座標相同(橫座標互為相反數);

關於原點對稱的兩個點,橫座標、縱座標都互為相反數.

16.一次函式y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱座標).當k>0時,y隨x的增大而增大(直線從左向右上公升);當k<0時,y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).

特別:當b=0時,y=kx又叫做正比例函式(y與x成正比例),圖象必過原點.

17.反比例函式y=(k≠0)的圖象叫做雙曲線.當k>0時,雙曲線在

一、三象限(從左向右降);當k<0時,雙曲線在

二、四象限(從左向右上公升).因此,它的增減性與一次函式相反.

18.二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象叫做拋物線(c是拋物線與y軸的交點的縱座標).①a>0時,開口向上;a<0時,開口向下.

②頂點座標是(－,),對稱軸是直線x=－.

特別:拋物線y=a(x－h)2+k的頂點座標是(h,k),對稱軸是直線x=h.

注意:求解析式的設法①已知三個點的座標,則設為一般形式y=ax2+bx+c;②已知頂點座標(h,k),則設為頂點式y=a(x－h)2+k;③已知拋物線與x軸的兩個交點座標(x1,0)和(x2,0),則設為交點式y=a(x－x1)(x－x2).

19.拋物線與x軸的位置關係:對於拋物線y=ax2+bx+c①δ<0時,它與x沒有交點.

②δ=0時,它與x軸只有乙個交點(與x軸相切).③δ>0時,它與x軸有兩個交點(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根.

20.統計初步:(1)概念:

①所要考察的物件的全體叫做總體,其中每乙個考察物件叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的乙個樣本,樣本中個體的數目叫做樣本容量.②在一組資料中,出現次數最多的數(有時不止乙個),叫做這組資料的眾數.

③將一組資料按大小順序排列,把處在最中間的乙個數(或兩個數的平均數)叫做這組資料的中位數.

(2)公式:設有n個數x1,x2,…,xn,那麼:

①平均數=(x1+x2+…+xn).②方差s2=[(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2.(是整數時用)

③s2=[(x12+x22+…+xn2)－n()2].注:各資料的數字較少或平均數是分數時,用此公式.

④若將n個數x1,x2,…,xn各減去乙個適當的數a,得到一組新數x1,,x2,,…,xn,,那麼原來那組數的方差s2=這組新數的方差,平均數=a+,.方差越大,這組資料的波動就越大.通常用樣本方差去估計總體方差,用樣本平均數去估計總體平均數.

方差的算術平方根叫做標準差

(3)頻率:①把一組數分成若干個小組,組距=(最大值－最小值)÷組數(求組數時,用收尾

法取整數),這時,落在某小組內的資料的個數叫做這組的頻數,每一小組的頻數與資料總

個數的比值叫做這一小組的頻率.因此,各組的頻率的和等於1.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等於相應各組的頻率.各小長方形的面積的和等於1.

21.銳角三角函式:①設∠a是rtδ的任一銳角,則∠a的正弦:sina=,∠a的余弦:cosa=,∠a的正切:tana=,∠a的餘切:cota=.

並且sina=cosb,tga=ctgb,tgactga=1,sin2a+cos2a=1.00,ctga>0.∠a越大,∠a的正弦和正切值越大,余弦和餘切值反而越小.

②餘角公式:sin(900－a)=cosa,cos(900－a)=sina,tg(900－a)=ctga,ctg(900－a)=tga.

③特殊角的三角函式值:sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00=

cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0.

④斜坡的坡度i==.設坡角為α,則i=tgα=.

22.三角形:(1)在乙個三角形中:等邊對等角,等角對等邊.

(2).證明兩個三再形全等的方法有:sas,aas,asa,sss,hl.

(3)在rtδ中,斜邊上的中線等於斜邊的一半.(4)證明乙個三角形是直角三角形的方法有:①先證明有乙個角等於900.

②先證明最長邊的平方等於另兩邊的平方和.③先證明一條邊的中線等於這條邊的一半.(5)三角形的中位線平行於笫三邊,並且等於笫三邊的一半.

(6)等腰三角形中,頂角的平分線與底邊上的中線和高互相重合.

23.四邊形:(1)n邊形的內角和等於(n－2)1800,外角和等於3600.

(2)平行四邊形的性質:對邊平行且相等;對角相等;鄰角互補;對角線互相平分.

(3)證明乙個四邊形是平行四邊形的方法有:①先證兩組對邊平行.②先證兩組對邊相等.

③先證一組對邊平行且相等.④先證兩條對角線互相平分.⑤先證兩組對角分別相等.

(4)矩形的對角線相等且互相平分;菱形的對角線互相垂直平分,並且四條邊相等.

(5)證明乙個四邊形是矩形的方法有:①先證明它有三個角是直角.②先證它是平行四邊形,再證它有乙個角是直角或對角線相等.

(6)證明乙個四邊形是菱形的方法有:①先證明它的四條邊相等.②先證它是平行四邊形,再證它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直.

(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性質.

(8)梯形的中位線平行於兩底並且等於兩底之和的一半.

(9)軸對稱圖形有:線段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多邊形,圓.中心對稱圖形有:線段,平行四邊形,矩形,菱形,正方形,邊數是偶數的正多邊形,圓.

24.證明兩個三角形相似的方法有:①先證兩組對應角相等.

②先證兩邊對應成比例並且夾角相等.③先證三邊對應成比例.④先證斜邊和一條直角邊對應成比例.

相似三角形的性質:對應高的比,對應角平分線的比,對應中線的比,周長的比,都等於相似比.面積的比等於相似比的平方.

25.平行切割定理:①如圖1,de∥bc=.

②如圖2,若ab∥cd∥ef則=,=.

26.射影定理:如圖3,δabc中,若∠acb=900,

cd⊥ab,則:①ac2=ad·ab.②bc2=bd·ba.③ad2=da·db.

27.圓的有關性質:(1)垂徑定理:如果一條直線具備以下五個性質中的

任意兩個性質:①經過圓心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所對的劣弧;

⑤平分弦所對的優弧,那麼這條直線就具有另外三個性質.注:具備①,③時,弦不能是直徑.

(2)兩條平行弦所夾的弧相等.(3)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它所對應的其餘三組量都分別相等.(4)圓心角的度數等於它所對的弧的度數.

(5)一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.(6)圓周角等於它所對的弧的度數的一半.(7)弦切角等於它所夾的弧的度數的一半.

(8)同弧或等弧所對的圓周角相等.(9)在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.(10).

900的圓周角所對的弦是直徑.(11)圓內接四邊形的對角互補,外角等於它的內對角.

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