第一章勾股定理
1、勾股定理
(1)直角三角形兩直角邊a,b的平方和等於斜邊c的平方,即
(2)勾股定理的驗證:測量、數格仔、拼圖法、面積法,如青朱出入圖、五巧板、玄圖、**證法……(通過面積的不同表示方法得到驗證,也叫等面積法或等積法)
(3)勾股定理的適用範圍:僅限於直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a,b,c有關係,那麼這個三角形是直角三角形。
3、勾股數:滿足的三個正整數a,b,c,稱為勾股數。
常見的勾股數有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)……
規律:(1),短直角邊為奇數,另一條直角邊與斜邊是兩個連續的自然數,兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數且a<b時,如果b+c=a2那麼a,b,c就是一組勾股數.
如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)……
(2)大於2的任意偶數,2n(n>1)都可構成一組勾股數分別是:2n,n2-1,n2+1
如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……
4、常見題型應用:
(1)已知任意兩條邊的長度,求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積……
(2)已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關係,求各邊的長度//斜邊上的高線/周長/面積……
(3)判定三角形形狀: a2 +b2>c2銳角~,a2 +b2=c2直角~,a2 +b2<c2鈍角~
判定直角三角形a..找最長邊;b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關係;c.確定形狀
(4)構建直角三角形解題
例1. 已知直角三角形的兩直角邊之比為3:4,斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。
解:設兩直角邊為3x,4x,由題意知:
∴x=2,則3x=6,4x=8,故兩直角邊為6,8。
中考突破
(1)中考典題
例. 如圖(1)所示,乙個梯子ab長2.5公尺,頂端a靠在牆ac上,這時梯子下端b與牆角c距離為1.
5公尺,梯子滑動後停在de位置上,如圖(2)所示,測得得bd=0.5公尺,求梯子頂端a下落了多少公尺?
思維入門指導:梯子頂端a下落的距離為ae,即求ae的長。已知ab和bc,根據勾股定理可求ac,只要求出ec即可。
解:在rt△acb中,ac2=ab2-bc2=2.52-1.52=4,
∴ac=2
∵bd=0.5,∴cd=2
∴ec=1.5
答:梯子頂端下滑了0.5公尺。
點撥:要考慮梯子的長度不變。
例5. 如圖所示的一塊地,ad=12m,cd=9m,∠adc=90°,ab=39m,bc=36m,求這塊地的面積。
思維入門指導:求面積時一般要把不規則圖形分割成規則圖形,若鏈結bd,似乎不
解:鏈結ac,在rt△adc中,
在△abc中,ab2=1521
答:這塊地的面積是216平方公尺。
點撥:此題綜合地應用了勾股定理和直角三角形判定條件。
第二章實數
基本知識回顧
1. 無理數的引入。無理數的定義無限不迴圈小數。
一、實數的概念及分類
1、實數的分類
正有理數
有理數零有限小數和無限迴圈小數
實數負有理數
正無理數
無理數無限不迴圈小數
負無理數
2、無理數:無限不迴圈小數叫做無理數。
在理解無理數時,要抓住「無限不迴圈」這一時之,歸納起來有四類:
(1)開方開不盡的數,如等;
(2)有特定意義的數,如圓周率π,或化簡後含有π的數,如π/3+8等;
(3)有一定規律,但並不迴圈的數,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函式值,如sin60o等
二、實數的倒數、相反數和絕對值
1、相反數
實數與它的相反數時一對數(只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,零的相反數是零),從數軸上看,互為相反數的兩個數所對應的點關於原點對稱,如果a與b互為相反數,則有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、絕對值
在數軸上,乙個數所對應的點與原點的距離,叫做該數的絕對值。(|a|≥0)。零的絕對值是它本身,也可看成它的相反數,若|a|=a,則a≥0;若|a|= -a,則a≤0。
3、倒數
如果a與b互為倒數,則有ab=1,反之亦成立。倒數等於本身的數是1和-1。零沒有倒數。
4、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時,要注意上述規定的三要素缺一不可)。
解題時要真正掌握數形結合的思想,理解實數與數軸的點是一一對應的,並能靈活運用。
5、估算
利用非負數解題的常見型別
例1.解:
點撥:利用算術平方根,絕對值非負性解題。
三、平方根、算數平方根和立方根
1、算術平方根:一般地,如果乙個正數x的平方等於a,即x2=a,那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地,0的算術平方根是0。
表示方法:記作「」,讀作根號a。
性質:正數和零的算術平方根都只有乙個,零的算術平方根是零。
2、平方根:一般地,如果乙個數x的平方等於a,即x2=a,那麼這個數x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正數a的平方根記做「」,讀作「正、負根號a」。
性質:乙個正數有兩個平方根,它們互為相反數;零的平方根是零;負數沒有平方根。
開平方:求乙個數a的平方根的運算,叫做開平方
注意的雙重非負性:被開方數與結果均為非負數。即a≥0
3、立方根
一般地,如果乙個數x的立方等於a,即x3=a那麼這個數x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法:記作
性質:乙個正數有乙個正的立方根;乙個負數有乙個負的立方根;零的立方根是零。
注意:,這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
四、實數大小的比較
1、實數比較大小:正數大於零,負數小於零,正數大於一切負數;數軸上的兩個點所表示的數,右邊的總比左邊的大;兩個負數,絕對值大的反而小。
2、實數大小比較的幾種常用方法
(1)數軸比較:在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。
(2)求差比較:設a、b是實數,
(3)求商比較法:設a、b是兩正實數,
(4)絕對值比較法:設a、b是兩負實數,則。
(5)平方法:設a、b是兩負實數,則。
(6)倒數法:設a、b是同正,如果1/a>1/b,則a<b;同負,如果1/a>1/b,則a>b
五、算術平方根有關計算(二次根式)
1、含有二次根號「」;被開方數a必須是非負數。
2、性質:
(1)(2)
(3)()
(4) ()
3、運算結果若含有「」形式,必須滿足:
(1)被開方數的因數是整數,因式是整式;
(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
六、實數的運算
(1)六種運算:加、減、乘、除、乘方 、開方
(2)實數的運算順序
先算乘方和開方,再算乘除,最後算加減,如果有括號,就先算括號裡面的。
(3)運算律
加法交換律
加法結合律
乘法交換律
乘法結合律
乘法對加法的分配律
例. 計算:
通過以上計算,觀察規律,寫出用n(n為正整數)表示上面規律的等式
解:規律:
第三章圖形的平移與旋轉
一、平移
1、定義:在平面內,將乙個圖形整體沿某方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移。
2、要素(或條件):方向,即前後對應點的射線方向;距離,即對應點之間的距離
3、性質:平移前後兩個圖形的形狀和大小不變(即全等圖形),對應點連線平行(或在同一條直線上)且相等,對應線段平行(或在同一條直線上)且相等,對應角相等。
4、平移作圖:
線段的平移作法:
作法1:將線段兩端點分別平移,然後將兩個平移後的點連成線段,即為原線段平移後的線段;
作法2:將線段一端點平移,然後過平移後的點作原線段的平行線,在該平行線適當方向擷取長度為指定線段長度,則所得線段為所求.
二、旋轉
1、定義:在平面內,將乙個圖形繞某一定點沿某個方向轉動乙個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這個定點稱為旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角。
2、要素(或條件):旋轉中心(定點)、旋轉方向(順時針/逆時針)、旋轉角度(0~3600)
3、性質:旋轉前後兩個圖形是全等圖形,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的連線所成的角等於旋轉角。
4、旋轉作圖:
(1)作圖步驟:觀察基本圖案(確定關鍵點)——確定旋轉的三要素——找到對應點——連線對應點——作答
(2)旋轉作圖的方法:1、把各關鍵點依次與旋轉中心連線
2、按要求向順時針/逆時針旋轉相應角度
3、擷取對應線段
4、連線對應點
5、作答
三、簡單的圖案設計:
第四章四邊形性質探索
一、四邊形的相關概念
1、四邊形:在同一平面內,由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。
2、四邊形具有不穩定性
3、四邊形的內角和定理及外角和定理
四邊形的內角和定理:四邊形的內角和等於360°。
四邊形的外角和定理:四邊形的外角和等於360°。
推論:多邊形的內角和定理:n邊形的內角和等於(n-2)× 180°;
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