第一章勾股定理
1、勾股定理
（1）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即[+b^=c^', 'altimg': 'dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png', 'w':
'90', 'h': '25'}]
（2）勾股定理的驗證：測量、數格仔、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、**證法……（通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法或等積法）
（3）勾股定理的適用範圍：僅限於直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a，b，c有關係[+b^=c^', 'altimg': 'dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png', 'w':
'90', 'h': '25'}]，那麼這個三角形是直角三角形。
3、勾股數：滿足[+b^=c^', 'altimg': 'dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.
png', 'w': '90', 'h': '25'}]的三個正整數a，b，c，稱為勾股數。
常見的勾股數有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
規律：（1），短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續的自然數，兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數且a＜b時，如果b+c=a2那麼a,b,c就是一組勾股數.
如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大於2的任意偶數，2n(n＞1)都可構成一組勾股數分別是：2n,n2-1,n2+1
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
4、常見題型應用：
（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積……
（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關係，求各邊的長度//斜邊上的高線/周長/面積……
（3）判定三角形形狀： a2 +b2＞c2銳角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2鈍角~
判定直角三角形a..找最長邊；b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關係；c.確定形狀
（4）構建直角三角形解題
例1. 已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。
解：設兩直角邊為3x，4x，由題意知：
∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。
中考突破
（1）中考典題
例. 如圖（1）所示，乙個梯子ab長2.5公尺，頂端a靠在牆ac上，這時梯子下端b與牆角c距離為1.
5公尺，梯子滑動後停在de位置上，如圖（2）所示，測得得bd=0.5公尺，求梯子頂端a下落了多少公尺？
思維入門指導：梯子頂端a下落的距離為ae，即求ae的長。已知ab和bc，根據勾股定理可求ac，只要求出ec即可。
解：在rt△acb中，ac2=ab2-bc2=2.52-1.52=4，
∴ac=2
∵bd=0.5，∴cd=2
∴ec=1.5
答：梯子頂端下滑了0.5公尺。
點撥：要考慮梯子的長度不變。
例5. 如圖所示的一塊地，ad=12m，cd=9m，∠adc=90°，ab=39m，bc=36m，求這塊地的面積。
思維入門指導：求面積時一般要把不規則圖形分割成規則圖形，若鏈結bd，似乎不
解：鏈結ac，在rt△adc中，
在△abc中，ab2=1521
答：這塊地的面積是216平方公尺。
點撥：此題綜合地應用了勾股定理和直角三角形判定條件。
第二章實數
基本知識回顧
1. 無理數的引入。無理數的定義無限不迴圈小數。
一、實數的概念及分類
1、實數的分類
正有理數
有理數零有限小數和無限迴圈小數
實數負有理數
正無理數
無理數無限不迴圈小數
負無理數
2、無理數：無限不迴圈小數叫做無理數。
在理解無理數時，要抓住「無限不迴圈」這一時之，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如[,\\sqrt[3]', 'altimg': 'bd5ef6e4d07d85d903f8997154aa437d.png', 'w':
'60', 'h': '34'}]等；
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡後含有π的數，如π/3+8等；
（3）有一定規律，但並不迴圈的數，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函式值，如sin60o等
二、實數的倒數、相反數和絕對值
1、相反數
實數與它的相反數時一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關於原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、絕對值
在數軸上，乙個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|= -a，則a≤0。
3、倒數
如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等於本身的數是1和-1。零沒有倒數。
4、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。
解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，並能靈活運用。
5、估算
利用非負數解題的常見型別
例1.解：
點撥：利用算術平方根，絕對值非負性解題。
三、平方根、算數平方根和立方根
1、算術平方根：一般地，如果乙個正數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。
表示方法：記作「[', 'altimg': 'c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.
png', 'w': '26', 'h': '29'}]」，讀作根號a。
性質：正數和零的算術平方根都只有乙個，零的算術平方根是零。
2、平方根：一般地，如果乙個數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正數a的平方根記做「[', 'altimg': '52cce7fda64bbd2a7164de54d9814061.
png', 'w': '41', 'h': '29'}]」，讀作「正、負根號a」。
性質：乙個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
開平方：求乙個數a的平方根的運算，叫做開平方
注意[', 'altimg': 'c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png', 'w':
'26', 'h': '29'}]的雙重非負性：被開方數與結果均為非負數。
即a≥0
3、立方根
一般地，如果乙個數x的立方等於a，即x3=a那麼這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：記作[', 'altimg': '76b1e479f805bb036a3487aeb35932e5.png', 'w': '26', 'h': '34'}]
性質：乙個正數有乙個正的立方根；乙個負數有乙個負的立方根；零的立方根是零。
注意：[=\\sqrt[3]', 'altimg': 'cfd0cfafb220cdd2e49e3a03875e929b.
png', 'w': '97', 'h': '34'}]，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
四、實數大小的比較
1、實數比較大小：正數大於零，負數小於零，正數大於一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。
2、實數大小比較的幾種常用方法
（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
（2）求差比較：設a、b是實數，
[>1a>b;\\frac=1a=b;\\frac<1a（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則[a\\end>\\beginb\\enda（5）平方法：設a、b是兩負實數，則[>b^a（6）倒數法：
設a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負，如果1/a＞1/b，則a＞b
五、算術平方根有關計算（二次根式）
1、含有二次根號「[', 'altimg': '1e68f3c3bc3a2f57ae71b355e9b97509.png', 'w':
'21', 'h': '29'}]」；被開方數a必須是非負數。
2、性質：
（1）[)^=a(a≥0)', 'altimg': '9c6c6db25c1a11206773b4e3cda035a7.png', 'w':
'140', 'h': '30'}]
（2）[}=\\begina\\end=', 'altimg': 'b848cbd552696b5c0898e24fe276d13b.png', 'w':
'96', 'h': '30t': 'latex', 'orirawdata':
'a(a≥0)', 'altimg': '4b9f61bc2edd12c536ad1725f8a47149.png', 'w':
'71', 'h': '21'}]
t': 'latex', 'orirawdata': 'a(a<0)', 'altimg':
'5f125c0f01b4eeb17fb1580ea96f44bf.png', 'w': '86', 'h':
'21'}]
（3）[=\\sqrt\\sqrt(a≥0,b≥0)', 'altimg': '3e4fc5a60c982f262e31c581a5a770cf.png', 'w':
'265', 'h': '34'}] （[\\sqrt=\\sqrt(a≥0,b≥0)', 'altimg': '66d413c02cab114c06870a02d5259c08.
png', 'w': '265', 'h': '34'}]）
（4）[}= \\frac}}(a≥0,b>0)', 'altimg': '53d46ab89f67a2fed3ead5a3eecf6e64.png', 'w':
'193', 'h': '63t': 'latex', 'orirawdata':
' \\frac}}=\\sqrt}(a≥0,b>0)', 'altimg': 'bbb37d996e29d9a5904271e49a4d2733.png', 'w':
'234', 'h': '64'}]）
3、運算結果若含有「[', 'altimg': 'c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png', 'w':
'26', 'h': '29'}]」形式，必須滿足：
（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
六、實數的運算
（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方
（2）實數的運算順序
先算乘方和開方，再算乘除，最後算加減，如果有括號，就先算括號裡面的。
（3）運算律
加法交換律t': 'latex', 'orirawdata': 'a+b=b+a', 'altimg':
'8a30c4114e6a0a93bfae199148d73973.png', 'w': '95', 'h':
'20'}]
加法結合律t': 'latex', 'orirawdata': '(a+b)+c=a+(b+c)', 'altimg':
'24458a9428d21eba1595d844e721db6b.png', 'w': '185', 'h':
'21'}]
乘法交換律t': 'latex', 'orirawdata': 'ab=ba', 'altimg':
'e535c14059b453f327db1fc15f33f108.png', 'w': '65', 'h':
'20'}]
乘法結合律t': 'latex', 'orirawdata': '(ab)c=a(bc)', 'altimg':
'91dfb0fb3570b06a7f1506f1c51186c8.png', 'w': '125', 'h':
'21'}]
乘法對加法的分配律
例. 計算：
通過以上計算，觀察規律，寫出用n（n為正整數）表示上面規律的等式
解：規律：
第三章圖形的平移與旋轉
一、平移
1、定義：在平面內，將乙個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。
2、要素（或條件）：方向，即前後對應點的射線方向；距離，即對應點之間的距離
3、性質：平移前後兩個圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對應點連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應角相等。
4、平移作圖：
線段的平移作法：
作法1：將線段兩端點分別平移，然後將兩個平移後的點連成線段，即為原線段平移後的線段；
作法2：將線段一端點平移，然後過平移後的點作原線段的平行線，在該平行線適當方向擷取長度為指定線段長度，則所得線段為所求.
二、旋轉
1、定義：在平面內，將乙個圖形繞某一定點沿某個方向轉動乙個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。
2、要素（或條件）：旋轉中心（定點）、旋轉方向（順時針/逆時針）、旋轉角度（0~3600）
3、性質：旋轉前後兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等於旋轉角。
4、旋轉作圖：
（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關鍵點）——確定旋轉的三要素——找到對應點——連線對應點——作答
（2）旋轉作圖的方法：1、把各關鍵點依次與旋轉中心連線
2、按要求向順時針/逆時針旋轉相應角度
3、擷取對應線段
4、連線對應點
5、作答
三、簡單的圖案設計：
第四章四邊形性質探索
一、四邊形的相關概念
1、四邊形：在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。
2、四邊形具有不穩定性
3、四邊形的內角和定理及外角和定理
四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等於360°。
北師大版數學八年級上冊知識點總結
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