2013屆高三新課標高考高中數學基礎知識歸納
第一部分集合
1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函式關係中自變數的取值？還是因變數的取值？還是曲線上的點？…
2 .數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角座標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然後利用數形結合的思想方法解決
3.⑴元素與集合的關係：,.
⑵德摩根公式：.
⑶注意：討論的時候不要遺忘了的情況.
⑷集合的子集個數共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；
非空真子集有–2個.
4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分函式與導數
1．對映：注意: ①第乙個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.
注：從集合到集合的對映有個.
2．函式值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函式單調性 ；⑤換元法 ；
⑥利用均值不等式； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、
絕對值的意義等）；⑧利用函式有界性（、、等）；⑨平方法； 導數法
3．復合函式的有關問題:
（1）復合函式定義域求法：
① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域.
（2）復合函式單調性的判定：
①首先將原函式分解為基本函式：內函式與外函式
②分別研究內、外函式在各自定義域內的單調性
③根據「同性則增，異性則減」來判斷原函式在其定義域內的單調性.
4．分段函式：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5．函式的奇偶性:
⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件
⑵是奇函式；是偶函式.
⑶奇函式在0處有定義，則
⑷在關於原點對稱的單調區間內：奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性
⑸若所給函式的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性
6．函式的單調性:
⑴單調性的定義：
①在區間上是增函式當時有；
②在區間上是減函式當時有；
⑵單調性的判定：定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利於判斷符號；②導數法（見導數部分）；③復合函式法；④影象法
注：證明單調性主要用定義法和導數法。
7.函式的圖象的對稱性:
①的圖象關於直線對稱；
②的圖象關於直線對稱；
③的圖象關於點對稱，
的圖象關於點對稱.
8.兩個函式的圖象的對稱性:
①函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱；
②函式與函式的圖象關於直線對稱；
③函式的圖象關於直線對稱的解析式為；
④函式的圖象關於點對稱的解析式為；
⑤函式和函式的圖象關於直線對稱.
9．奇偶函式的圖象特徵：
奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來，如果乙個函式的圖象關於原
點對稱，那麼這個函式是奇函式；如果乙個函式的圖象關於y軸對稱，那麼這個函式是偶函式．
10．函式的週期性：
(1)週期性的定義：對定義域內的任意，若有（其中為非零常數），則稱函式為週期函式，為它的乙個週期。所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。
如沒有特別說明，遇到的週期都指最小正週期。
（2）三角函式的週期：
①；②；③；④；⑤
(3)與週期有關的結論：
或的週期為
11．基本初等函式的影象與性質：
㈠.⑴指數函式：；⑵對數函式:；
⑶冪函式： （；⑷正弦函式:；⑸余弦函式： ；
（6）正切函式：；⑺一元二次函式：（a≠0）；⑻其它常用函式：
1 正比例函式：；②反比例函式：；③函式
㈡.⑴分數指數冪：；（以上，且）.
③； ④.
⑶.對數的換底公式:.對數恒等式:.
12．二次函式：
⑴解析式：①一般式：；②頂點式：，為頂點；③零點式： （a≠0）.
⑵二次函式問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與座標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。
二次函式的圖象的對稱軸方程是，頂點座標是。
13．函式圖象：
⑴圖象作法 ：①描點法 （特別注意三角函式的五點作圖）②圖象變換法 ③導數法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ)，———左「+」右「－」；
上「+」下「－」；
2 對稱變換：ⅰ) ；ⅱ) ；
ⅲ) ； ⅳ) ；
3 翻摺變換：
ⅰ)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；
ⅱ)———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；
14．函式圖象（曲線）對稱性的證明：
(1)證明函式影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；
（2）證明函式與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然。
注*：①曲線c1:f(x,y)=0關於原點（0,0）的對稱曲線c2方程為：f(－x,－y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線x=0的對稱曲線c2方程為：f(－x, y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=0的對稱曲線c2方程為：f(x, －y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=x的對稱曲線c2方程為：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈r）y=f(x)影象關於直線x=對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈r）y=f(x)影象關於直線x=a對稱.
③的圖象關於點對稱.
特別地：的圖象關於點對稱.
函式與函式的圖象關於直線對稱;
函式與函式的圖象關於直線對稱。
15．函式零點的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.(4)零點定理：若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0 , 則y=f(x)在（a,b)內至少有乙個零點。
13．導數：
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作
⑵常見函式的導數公式
⑶導數的四則運算法則：
（4）導數的應用：
①函式在點處的導數的幾何意義：函式在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是
②導數與函式的單調性的關係：
（1）與為增函式的關係：能推出為增函式，但反之不一定.如函式在單調遞增，但，故是為增函式的充分不必要條件.
（2）與為增函式的關係：為增函式，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或.當函式在某個區間內恒有，則為常數，函式不具有單調性.∴是為增函式的必要不充分條件.
③利用導數判斷函式單調性：）是增函式；）為減函式；）為常數；
④利用導數求極值：ⅰ）求導數；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。
⑤利用導數求最大值與最小值：ⅰ）求極值；ⅱ）求區間端點值（如果有）；ⅲ）比較得最值。
第三部分三角函式、三角恒等變換與解三角形
1．⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧長公式：；扇形面積公式：。
2．三角函式定義:角終邊上任一點（非原點）p,設則：
3．三角函式符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為「全s t c」）
4．誘導公式記憶規律：「奇變偶不變，符號看象限」
5．⑴對稱軸：令，得對稱中心：；
⑵對稱軸：令，得；對稱中心：；
⑶週期公式:①函式及的週期(a、ω、為常數，且a≠0).②函式的週期(a、ω、為常數，且a≠0).
6．同角三角函式的基本關係：
7．三角函式的單調區間及對稱性：
⑴的單調遞增區間為,單調遞減區間為
，對稱軸為,對稱中心為.
⑵的單調遞增區間為,單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為.
⑶的單調遞增區間為，對稱中心為.
8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：
①；；.
②；.③= (其中,輔助角所在象限由點所在的象限
決定, ).
9．二倍角公式：①.
②（公升冪公式）.
③（降冪公式）.
④半形公式:.
10．正、餘弦定理：
⑴正弦定理： （是外接圓直徑 ）
注：①；②；③。
⑵餘弦定理：等三個；等三個。
11.幾個公式:⑴三角形面積公式：①（分別表示a、b、c邊上的高）；②.
⑵內切圓半徑r=； 外接圓直徑=
（3）在△abc中，有
①；②（注意是在中）.
第四部分立體幾何
1、常用定理:①線面平行;;
②線線平行:;;;
③面面平行:;;
④線線垂直:;
⑤線面垂直:;;;;;
2、正四面體的外接球與內切球的球心是同心球，如果邊長為，則正四面體的高正；且外接球的半徑與內切球的半徑之比為。
3、 平面圖形翻摺(展開):注意翻摺(展開)後在同一平面圖形中角度、長度不變;
4、三檢視與直觀圖：畫三檢視要求：正檢視與俯檢視長對正；正檢視與側檢視高平齊；側檢視與俯檢視寬相等。斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領。
5、表（側）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積： =側+底；②側面積：側=；③體積： =底
⑵錐體：①表面積：s=s側+s底；②側面積：s側=；③體積：v=s底h：
⑶台體：①表面積：s=s側+s下底;②側面積：s側=;
③體積：v=（s+）h；
⑷球體：①表面積：s=；②體積：v= .
6、位置關係的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義----兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。
7、求角：（步驟-------ⅰ.找或作角；ⅱ.求角）
⑴異面直線所成角的求法：
平移法：平移直線，構造三角形；
⑵直線與平面所成的角：
直接法（利用線面角定義）；
5.求距離：
點到平面的距離：等體積法；
6．結論：
⑴稜錐的平行截面的性質如果稜錐被平行於底面的平面所截，那麼所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等於頂點到截面距離與稜錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等於對應邊的比的平方）；相應小稜錐與小稜錐的側面積的比等於頂點到截面距離與稜錐高的平方比．
⑵長方體從乙個頂點出發的三條稜長分別為a，b，c，則體對角線長為，全面積為，體積。
⑶正方體的稜長為a，則體對角線長為，全面積為，體積v=。
⑷球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的稜長, 正方體的稜切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
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