必修1數學知識點必修1—第1章集合
第1章集合
1．集合的含義： 一般地，一定範圍內某些確定的、互異的物件構成的全體．
（1）元素與集合的關係： (元素與集合是屬於∈、不屬於的關係) 如果是集合的元素，記作．
（2）元素的性質：
確定性（如高個子同學不確定，不能構成集合）、互異性（集合，）、無序性（）．
（3）集合的表示：大寫拉丁字母法特殊字母法列舉法
描述法（為代表元素，指元素具有的性質） venn圖區間法
（4）集合的分類：① 按元素個數分：有限集、無限集、空集； ② 按元素特徵分：數集、點集．
如：數集，表示非負實數集，點集表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線．
注：注意區分集合中元素的形式.如：—函式的定義域；—函式的值域；
函式圖象上的點集.
① 對方程組解的集合應是點集．例： 解的集合．
② 點集與數集的交集是．（例：= = 則）
（5）常用數集：自然數集、正整數集、整數集、有理數集、實數集、空集、複數集．
．2．子集：包含於、真包含於 ★（蘇09·t11）
（1）在，，，的關係中，應對或分類討論．
（2）常用的等價形式：．
3．子集的性質：
（1）含個元素的集合a=的子集的個數是，真子集有個,
非空子集有個，非空真子集的個數是．★（蘇13·t4）
（2）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．任意集合是其本身的子集aa．
（3）若ab，bc，則ac； 若ab，bc，則ac．
4．集合相等：①兩個集合所含元素完全相同；② 若，則．
5．交集： ★（蘇08·t4、10·t1、11·t1、14·t1）
（1），，，，．
（2）．
6．並集： ★（蘇12·t1、15·t1）
（1），，，．
（2）包含三種情況：；；．
7．補集：，u為全集
（1），，，，．
（2）德摩根定律：交的補等於補的並：；
並的補等於補的交：．
注釋：★（蘇09·t11）指09年江蘇高考題第11題，下同
必修1—第2章函式必修1數學知識點
第2章函式
1．函式的概念：設a、b是非空數集，若按某種對應法則f，對於集合a中的每乙個元素x，在集合b中都有惟一的元素y和它對應，那麼就稱稱f：a→b為從a到b的乙個函式．記為：
y=f(x)，x∈a．
2．對映的概念：設a、b是非空集合，若按某種對應法則f，對於集合a中的每乙個元素x，在集合b中都有惟一的元素y和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的對映．
(1) 對映: f：a→b：「一對一」或「多對一」對應，且a中元素無剩餘．
(2) 函式: f：a→b是特殊的對映.特殊在定義域a和值域b都是非空數集！
注：函式圖象與軸的垂線至多有乙個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
3．函式定義域的求法：（定義域：使函式式有意義的實數x的集合.）★（12蘇·t5）
(1) 分式的分母不為零2) 偶次根式的被開方式大於或等於0．
(3) 對數式的底數大於0且不等於1，真數大於0． (4) 指數式的底數大於0且不等於1．
(5) 若f(x)是由基本函式通過四則運算構成，則定義域是使各部分都有意義的實數集合的交集．
(6) 零次冪的底數不為零7) 正切函式 ．
(8) 若函式的定義域為，求定義域，可解不等式求出的範圍．
(9) 若定義域為,求的定義域，可由求的值域．
注：外層函式的定義域是內層函式的值域．
(10) 求函式的定義域，即求的定義域．
4．函式的三要素：定義域、對應法則和值域
(1) 求函式的值域、奇偶性、單調性時要注意定義域優先原則.
(2) 同一函式：若兩函式定義域和對應法則相同，稱兩個函式相等，與表示自變數和函式值的字母無關．
注：① 若函式解析式沒有指明定義域，則定義域是指使這個式子有意義的實數的集合．
② 求定義域時解析式不能化簡，函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
③ 分段函式的定義域和值域是各段定義域和值域的並集，研究分段函式性質應「先分後合」．
④ 求分段函式的最值：求出每個子區間的最值，各區間最大值中最大者即為分段函式的最大值．
5．函式值域的求法：（函式的值域取決於定義域和對應法則，求函式值域應優先考慮定義域.）
(1) 直接法：從自變數的範圍入手，逐步推出的範圍，基本初等函式的值域可用此法得出．
例：的定義域是，求其值域．解：，，．
(2) 觀察法：根據完全平方式、算數根、絕對值、指數式是非負數的特點，及函式圖象和性質等求值域．
例：求的值域．解：，，函式值域為．
變式：①求的值域．解：．②求的值域．解：．
(3) 配方法：【二次函式求值域】 例：求函式的值域．解：．
變式：求函式（）的值域． 【也可用圖象法】
(4) 圖象法：例：求函式的值域．
解：，畫出其圖象，得函式值域為．
(5) 分離常數法：【一次分式函式】，
例：求函式的值域．解：，值域為）．【也可用逆求法】
變式：求函式()的值域．解：，，（不等式取倒數時，注意不等式的上界和下界），，，即值域為．
(6) 換元法：【形如，運用換元法時，注意新元的取值範圍】
例：求的值域． 解：令，，，．
必修1數學知識點必修1—第2章函式
(7) 逆求法：【反求法】例：求函式的值域．解：，，
即，當時，，，，值域為．
法2：令，()【也可用判別式法】
(8) 判別式法：【二次分式函式】 例：求函式的值域．
解：整理得：，當時，，即，，又當時，，．
(9) 單調性法：利用函式的單調性求值域．例：求函式的值域．
解：定義域：，函式在定義域上單調增，則，．
變式1：求函式的值域．
解：，，，則．
(10) 基本不等式法：變式2：求函式的值域．
解：定義域，，，當且僅當，即上式取等號，故，．
(11) 數形結合法：利用函式表示的幾何意義，借助於圖象求值域．
① 直線的斜率：看做點與點連線的斜率．例：已知，求的值域．
解：設，直線過點，直線與圓有交點，直線與圓相切時，圓心到
的距離等於半徑，，，．
② 兩點間的距離：可看做點與點之間的距離．
例：求的最小值．解：的值為點到兩點距離之和．求出關於軸的對稱點，連線交軸於點即為所求點，．
③ 直線的截距：形如型求最值（線性規劃13蘇·t9）
例：拋物線在處的切線與兩座標軸圍成三角形區域為(包含三
角形內部和邊界)，若點是區域內的任意一點，則的取值
範圍是解：切線方程為：，令，．畫出可行域，三角形區域三個點為，過c點時有最小值，過b點時有最大值0.5．
(12) 三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式,運用三角函式有界性來求值域．
例：求的值域． 解：，則．
(13) 導數法：由求出極值點，函式定義域為，最值為極值點或區間端點對應的函式值．
例：已知函式在區間上的最大值與最小值分別為，則= ．
解：，令，則，又，則．
6．求函式解析式的常用方法：（求函式解析式，應求定義域）
（1）代入法——已知求：已知，求．．
（2）待定係數法——已知函式型別： 【二次函式的解析式】
一般式： 頂點式： 零點式：()
必修1—第2章函式必修1數學知識點
（3）換元法、配湊法——已知求：例：已知，求．
換元法：令，，即．
配湊法：，即．
（4）函式方程組法——對已知等式賦值構造另乙個等式，從而得到關於及另外乙個函式的方程組．
例：已知，求的解析式．解：由得，．
7．函式的奇偶性：函式具有奇偶性的必要條件是定義域關於原點對稱．若函式的定義域不關於原點對稱，則函式為非奇非偶函式；函式或既是奇函式又是偶函式．
(1) 定義法：是奇函式；是偶函式．
(2) 圖象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱．
(3) 函式奇偶性的性質：① 奇函式在處有定義時必有．
② 若為偶函式，則．
注：① 一次函式是奇函式．② 二次函式是偶函式對稱軸為．
例：若為奇函式，則實數由，得．
變式：若為奇函式，則實數由題意，．
8．復合函式的奇偶性：復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」．
(1) 奇函式×偶函式=奇函式．
(2) 奇函式×奇函式=偶函式．
(3) 偶函式×偶函式=偶函式．
(4) 奇函式±奇函式=奇函式．
(5) 偶函式±偶函式=偶函式．
(6) 奇函式±偶函式=非奇非偶函式．
9．函式單調性：若為增函式，，則09蘇·t10）
判斷函式單調性的方法：定義法 （①求定義域，②取值， ③作差， ④變形，⑤定號，⑥判斷）
（1）取值：任取,，且．（在同乙個區間內取值）
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