高一數學必修1各章知識點總結
第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由happy的字母組成的集合
(3) 元素的無序性: 如：和是表示同乙個集合
3.集合的表示： 如：，
(1) 用拉丁字母表示集合：a=,b=
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
◆ 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
4.集合的表示方法
1） 列舉法：
2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。 ,
3） 語言描述法：例：
4） venn圖:
5、集合的分類：
(1) 有限集含有有限個元素的集合
(2) 無限集含有無限個元素的集合
(3) 空集不含任何元素的集合例： b= 「元素相同則兩集合相等」
即：① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果 ab, bc ,那麼 ac
④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
◆ 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
例題：1.下列四組物件，能構成集合的是
a某班所有高個子的學生 b著名的藝術家 c一切很大的書 d 倒數等於它自身的實數
2.集合的真子集共有個
3.若集合m=,n=，則m與n的關係是
4.設集合a=，b=，若ab，則的取值範圍是
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，
兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合m
7.已知集合a=, b=, c=, 若b∩c≠φ，a∩c=φ，求m的值
二、函式的有關概念
1．函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
注意：1．定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
◆ 相同函式的判斷方法：①表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 .
(2) 畫法
a、 描點法：
b、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示．
5．對映
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f（對應關係）：
a（原象）b（象）」
對於對映f：a→b來說，則應滿足：
(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
6.分段函式
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
(2)各部分的自變數的取值情況．
(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．
補充：復合函式
如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
二．函式的性質
1．奇偶性
（1）定義：如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。
如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
注意：函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個x，則－x也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）。
（2）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
確定f(－x)與f(x)的關係；
作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：乙個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；乙個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱；
②設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶
2．單調性
（1）定義：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i， 如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說f(x)在區間d上是增函式（減函式）；
注意：函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2）如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做y=f(x)的單調區間。
（3）設復合函式y= f[g(x)]，其中u=g(x) , a是y= f[g(x)]定義域的某個區間，b是對映g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 a上是增（或減）函式，y= f(u)在b上也是增（或減）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是增函式；
②若u=g(x)在a上是增（或減）函式，而y= f(u)在b上是減（或增）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是減函式。
（4）判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間d上的單調性的一般步驟：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（即指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函式增函式是增函式；減函式減函式是減函式；增函式減函式是增函式；減函式增函式是減函式。
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≤m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≥m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
注意：函式最大（小）首先應該是某乙個函式值，即存在x0∈i，使得f(x0) = m；
函式最大（小）應該是所有函式值中最大（小）的，即對於任意的x∈i，都有f(x)≤m（f(x)≥m）。
（2）利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值的方法：
利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值；
利用圖象求函式的最大（小）值；
利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
4．週期性
（1）定義：如果存在乙個非零常數t，使得對於函式定義域內的任意x，都有f(x+t)= f(x)，則稱f(x)為週期函式；
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