在上一章，我們給出了連續小波變換的定義與性質，給出了在平面上離散柵格上小波變換的定義及與其有關的標架問題。在這兩種情況下，時間仍是連續的。在實際應用中，特別是在計算機上實現小波變換時，訊號總要取成離散的，因此，研究及都是離散值情況下的小波變換，進一步發展一套快速小波變換演算法將更有意義。
由mallat和meyer自80年代末期所創立的「多解析度分析」技術[87,88,8]在這方面起到了關鍵的作用。該演算法和多抽樣率訊號處理中的濾波器組及影象處理中的金字塔編碼等演算法[34,33]結合起來，構成了小波分析的重要工具。本章將詳細討論多解析度分析的定義、演算法及應用。
10.1多解析度分析的引入
10.1.1訊號的分解近似
現以訊號的分解近似為例來說明多解析度分析的基本概念。
給定乙個連續訊號，我們可用不同的基函式並在不同的解析度水平上對它作近似。如圖10.1.1(a)所示，令
10.1.1)
顯然，的整數字移相互之間是正交的，即
10.1.2)
這樣，由的整數字移就構成了一組正交基。設空間由這一組正交基所構成，這樣，在空間中的投影（記作）可表為：
10.1.3)
式中,是基的權函式。如圖10.1.1(b)所示，它可以看作是在中的近似。是離散序列，如圖10.1.1(c)所示。
令10.1.4)
是由作二進位制伸縮及整數字移所產生的函式系列，顯然，對圖10.1.1(a)的，和是正交的。這一結論可證明如下：
因為令，則, ,再由（10.1.2）式，有
10.1.5)
於是結論得證。
將作二倍的擴充套件後得，如圖10.1.1(g)所示。由作整數倍位移所產生的函式組
當然也是兩兩正交的（對整數），它們也構成了一組正交基。我們稱由這一組基形成的空間為，記訊號在中的投影為，則
10.1.6)
式中為加權係數。如圖10.1.1(h)所示。仍為離散序列，如圖10.1.1(i)所示。
若如此繼續下去，在給定圖10.1.1(a)的的基礎上，我們可得到在不同尺度下通過作整數字移所得到一組組的正交基，它們所構成的空間是。用這樣的正交基對作近似，就可得到在中的投影。
由圖10.1.1(a)和圖10.1.1(g)，我們不難發現：
10.1.7)
再比較該圖的(b)和(h)，顯然圖(b)對的近似要優於圖(h)對的近似，也即解析度高。所以，用對作（10.1.
3），或(10.1.6)式的近似，越小，近似的程度越好，也即解析度越高。
當時，中的每乙個函式都變成無窮的窄，因此，有
10.1.8)
另一方面，若，那麼中的每乙個函式都變成無窮的寬，因此，時對的近似誤差最大。按此思路及（10.1.
7）式，我們可以想象，低解析度的基函式完全可以由高一級解析度的基函式所決定。從空間上來講，低解析度的空間應包含在高解析度的空間中，即
10.1.9)
但是，畢竟不等於，也即比對近似的好，但二者之間肯定有誤差。這一誤差是由和的寬度不同而產生的，因此，這一差別應是一些「細節」訊號，我們記之為。這樣，有
10.1.10)
該式的含義是：在高解析度基函式所形成的空間中的近似等於它在低解析度空間中的近似再加上某些細節。現在我們來尋找的表示方法。
設有一基本函式，如圖10.1.1(d)所示，即
10.1.11)
很明顯，的整數字移也是正交的，即
10.1.12)
進一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即
10.1.13)
如圖（j）所示。同時，和的整數字移之間也是正交的，即
10.1.14)
觀察圖(a)，(d)和(g)，不難發現，和之間有如下關係：
10.1.15a)
及10.1.15b)
記張成的空間為，所張成的空間為，依次類推，張成的空間為，記在空間中的投影為，在中的投影為，它們均可表為相應基函式的線性組合，即
10.1.16)
10.1.17)
式中,是,尺度下的加權係數，它們均是離散序列。,分別如圖10.1.1(e)和(f)所示，,分別如圖(k)和(l)所示。
由圖10.1.1不難發現，若將圖(h)的和圖(k)的相加，即得圖(b)的，由空間表示，即是
10.1.18)
式中表示直和[注1]。這說明，是的正交外空間，並有， [注2]。我們把上述概念加以推廣，顯然有
圖10.1.1 訊號的近似
10.1.19）
並且10.1.20）
這樣，給定不同的解析度水平，我們可得到在該解析度水平上的近似和，由於是低通訊號，因此反映了的低通成份，我們稱其為的「概貌」。由於是由邊緣得到的離散序列，所以也應是在尺度下的概貌，或稱離散近似。同理，由於是帶通訊號，因此反映的是的高頻成份，或稱為的「細節」，而是的離散細節。
在以上的分析中，我們同時使用了兩個函式，即和，並由它們的伸縮與移位形成了在不同尺度下的正交基。由後面的討論可知，對作概貌近似的函式稱為「尺度函式」，而對作細節近似的函式稱為小波函式。讀者不難發現，圖10.
1.1(d)中的即是我們在上一章提到的haar小波。圖(a)中的即是haar小波在時的尺度函式。
10.1.2樹結構理想濾波器組
我們在第
七、八兩章詳細討論了濾波器組的原理。乙個離散時間訊號經過乙個兩通道濾波器組後，的輸出為其低頻部分，頻帶在；的輸出為其高頻部分，頻帶為。由於、輸出後的訊號頻帶均比的頻帶降低了一倍，因此，在和的輸出後都各帶乙個二抽取環節，如圖10.
1.2所示。
如果我們把的總頻帶定義為空間，經第一次分解後，被分成兩個子空間，乙個是低頻段的，其頻率範圍為；另乙個是高頻段的，其頻帶在之間。顯然，，並且和是正交的，即二者的交集為空間（此亦是直和的定義）。按此思路，我們可在的輸出後再接乙個兩通道分析濾波器組，這樣就將空間進一步剖分，乙個是高頻段的空間，另乙個是低頻段的空間，如圖10.
1.2(a)和(b)所示。
由上面的分解不難發現，
10.1.21a)
及10.1.21b)
或10.1.21c)
注1:,是空間的子空間，若 ①;②，則稱是和的直和。式中「」表示求和的交集，「」表示求和的並集；
注2：，「」表示包含，即空間含空間。
圖10.1.2 基於濾波器組的頻帶剖分(a)濾波器組，(b)頻帶剖分
現在我們來分析一下圖10.1.2對訊號分解的特點。
1．各帶通空間和各低通空間的恆q性
先看帶通空間。由圖10.1.2(b)，的頻寬為，中心頻率為，其；的頻寬為，中心頻率在，所以其也是，同理，的均是；
再看低通空間，很明顯，的，的，的的也是2。
2．各級濾波器的一致性
在圖10.1.2(a)中，我們將各級濾波器組的低通和高通濾波器都寫成了和，這意味著各級濾波器組使用的是同一組濾波器，這一方面體現了樹狀濾波器組中各級濾波器的一致性，也深刻體現了上述空間剖分的特點，現對此作一簡單的解釋。
假定對的抽樣頻率hz，對，設其截止頻率hz，也即，或歸一化頻率；對第二級，由於前一級有一二抽取環節，致使變成了hz，同時，由於第一級的輸出使頻帶減少一半，故第二級低通濾波器的應改為hz。但是，這時的仍為，即，依次類推，各級的、均保持不變。這樣，只要設計出第一級的和，以後各級的濾波器均可採用它們。
第十章機械波全章
10 1 波的形成和傳播 教學目的 1 在物理知識方面的要求 l 明確機械波的產生條件 2 掌握機械波的形成過程及波動傳播過程的特徵 3 了解機械波的種類極其傳播特徵 4 掌握描述機械波的物理量 包括波長 頻率 波速 2 要重視觀察演示實驗，對波的產生條件及形成過程有全面的理解，同時要求學生仔細分析...
風險管理的第十章
第10章 企業關鍵流程與風險管理 本章選取了製造型企業具有典型意義的十個業務流程 銷售和發貨 物資採購 存貨管理 固定資產 貨幣資金 稅款核算和繳納 生產和成本核算 借款和費用報銷 工資薪金和社會保險 財務會計報告 介紹了每一流程的適用範圍 各部門職責 重要風險和控制程式等，並提供部分範例，供讀者參...
第十章材料的強化
韌性是材料變形和斷裂過程中吸收能量的能力，它是強度和塑性的綜合表現 強度是材料抵抗變形和斷裂的能力，塑性則表示材料斷裂時總的塑變程度 材料在塑性變形和斷裂全過程中吸收能量的多少表示韌性的高低 金屬材料缺口試樣落錘衝擊試驗側得的韌性指標稱為衝擊韌性 高分子材料衝擊試驗的韌性指標通常稱為衝擊強度或衝擊韌...