一、等腰三角形：
1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性質：（1）等腰三角形的兩個底角相等；
2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。
3、等腰三角形的判定： 如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。
4、等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，並且每乙個角都等於60°。
5、等邊三角形的判定：（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
2）有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
6、含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
二、直角三角形：
1、認識直角三角形：學會用符號和字母表示直角三角形
按照角的度數對三角形進行分類：如果三角形中有乙個角是直角，那麼這個三角形叫直角三角形。
通常用符號「rt△」表示「直角三角形」，其中直角所對的邊稱為直角三角形的斜邊，構成直角的兩邊稱為直角邊。
如果△abc是直角三角形，習慣於把以c為頂點的角當成直角。用三角a、b、c對應的小寫字母a、b、c分別表示
三個角的對邊。
如果ab＝ac且∠a＝90°，顯然這個三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我們稱之為等腰直角三角形。
2、掌握「直角三角形兩個銳角互餘」的性質。會運用這一性質進行直角三角形中的角度計算以及簡單說理。
3、會用「兩個銳角互餘的三角形是直角三角形」這個判定方法判定直角三角形。
4、掌握「直角三角形斜邊上中線等於斜邊的一半」性質。能通過操作探索出這一性質並能靈活應用。
5、在直角三角形中如果乙個銳角是30°，則它所對的直角邊等於斜邊的一半」。
難點：在直角三角形中如何正確新增輔助線通常有兩種輔助線：斜邊上的高線和斜邊上的中線。
三、勾股定理及逆定理：
（一）勾股定理及其證明
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.
符號語言：在△abc中，∠c=90°（已知）
證明：進行圖形拼接用面積法證明. 製作四個全等的直角三角形，然後進行拼接，利用面積法理解勾股定理.
（二）勾股定理的應用：
（1）已知兩邊（或兩邊關係）求第三邊； （2）已知一邊求另兩邊關係；
（3）證明線段的平方關係4）作長為的線段.
（三）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足那麼這個三角形是直角三角形.
1、勾股定理的逆定理的證明是構造乙個直角三角形，然後通過證全等完成；
2、勾股定理的逆定理實質是直角三角形的判定之一，與以前學的判定方法不同，它是用代數運算來證明幾何問題，
這是數形結合思想的最好體現，今後我們會經常用到.
利用勾股定理的逆定理判別直角三角形的一般步驟：1、先找出最大邊（如c）；
2、計算與，並驗證是否相等. 若，則△abc是直角三角形.
若，則△abc不是直角三角形.
注意：（1）△abc中，若，則∠c=90°；而時，則∠a=90°；時，則∠b=90°.
（2）若，則∠c為鈍角，則△abc為鈍角三角形.
若，則∠c為銳角，但△abc不一定為銳角三角形.
（四）勾股數：能夠成為直角三角形三條邊長度的三個正整數稱為勾股數（或勾股弦數），
如3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17等.
四、全等三角形的概念、性質與判定:
1、能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
2、全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應邊相等；（2）全等三角形的對應角相等。
3、全等三角形的判定：
（1）三邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為：「邊邊邊」或「sss」）；
（2）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡記為「邊角邊」或「sas」）；
（3）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為「角邊角」或「asa」）；
（4）兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為：「角角邊」或「aas」）；
（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡記為：「斜邊、直角邊」或「hl」）。
4、常見的乙個三角形經過變換得到另乙個全等三角形:
（1）平移2）翻摺
（3）旋轉
5、判定兩個三角形全等所需條件：（1）需要三個條件；（2）至少有乙個條件為邊。
注意：「邊邊角」不一定成立。
反例：如圖，△abc與△abc'中，ab＝ab，ac＝ac'，∠abc＝∠abc'，但△abc與△abc'不全等。
【典型例題分析】
例1:（2023年蘇州）如圖，等腰三角形abc的頂角為120°，腰長為10，則底邊上的高ad
例2：已知，如圖，△abc中，∠c＝90°，ab的垂直平分線交ab於e，交ac於d，ad＝8，∠a＝30°，求cd的長。
例3：已知，如圖，△abc是等邊三角形，e是ab上一點，d是ac上一點，且ae＝cd，又bd與ce交於點f，
試求∠bfe的度數。
例4：已知一直角三角形兩條直角邊上的中線長分別為ae=5，，求其斜邊ab長。
例5：如圖所示，點f為rt△abc的斜邊ab上的中點，cd=fb，df的延長線與cb的延長線相交於點e，
求證：2e=a。
例6： rt△abc中，ab=ac， a=90°，點d在bc上，；m為bc中點，
請判斷的形狀，並說明你的理由。
例7：作長為的線段.
例8：如圖所示，已知：∠abd=∠c=90°，ac=bc，
∠dab=30°，ad=8，求bc的長.
例9：若a、b、c是△abc的三邊，且滿足，試判定三角形的形狀.
例10：如圖所示，已知△def中，de=17cm，ef=30cm，ef邊上中線dg=8cm.
求證：△def是等腰三角形.
例11：（2023年安徽）如圖，已知ab∥de，ab＝de，af＝dc，請問圖中有哪幾對全等三角形？
並任選其中一對給予證明。
例12：如圖，b是ac上一點，da⊥ac，ec⊥ac，db＝be。問：在條件中再補充乙個什麼等量關係，
可以得到△dab≌△bce，並加以證明。
【學生練習題】
1、如圖，△abc中，ad是高，ce是中線，dc＝be，dg⊥ce於g。
（1）求證：g是ce的中點；21世紀教育網（2）∠b＝2∠bce。
2、（2011四川涼山州）如下左圖，在中，，，點為的中點，
，垂足為點，則
3、（2011浙江台州）已知等邊△abc中，點d,e分別在邊ab,bc上，把△bde沿直線de翻摺，使點b落在點
bˊ處，dbˊ,ebˊ分別交邊ac於點f，g，若∠adf=80 ，則∠egc的度數為
4、（2011山東濟寧）如圖，等邊三角形abc中，d、e分別為ab、bc邊上的兩個動點，且總使ad=be，ae與
cd交於點f，ag⊥cd於點g，則
5、（2011四川樂山）如圖，已知∠aob=，在射線oa、ob上分別取點oa=ob，鏈結ab，在ba、bb
上分別取點a、b，使b b= b a，鏈結a b…按此規律上去，記∠a b b=，
則6、（2011貴州貴陽）如圖，已知等腰rt△abc的直角邊長為1，以rt△abc的斜邊ac為直角邊，畫第二個等
腰rt△acd，再以rt△acd的斜邊ad為直角邊，畫第三個等腰rt△ade，…，依此類推直到第五個等腰
rt△afg，則由這五個等腰直角三角形所構成的圖形的面積為______．
第6題圖）（第7題圖
7、（2011廣東茂名）如圖，已知△abc是等邊三角形，點b、c、d、e在同一直線上，且cg＝cd，df＝de，
則∠e度．
第二章特殊三角形複習
一 知識結構 二 重點回顧 1 等腰三角形的性質 等腰三角形兩腰 等腰三角形兩底角 即在同乙個三角形中，等邊對 等腰三角形三線合一，這三線是指也就是說一條線段充當三種身份 等腰三角形是 圖形，它的對稱軸有 條。2 等腰三角形的判定 有 邊相等的三角形是等腰三角形 有 相等的三角形是等腰三角形 即等角...
第二章「特殊三角形」複習導航
4 勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關係，解題時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母 就認定是斜邊，一看到直角三角形兩邊長為3和4就認為另一邊一定是5 5 hl 是僅適用於判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當然，以...
第二章三角形 二
第32課時 教學內容 用尺規作三角形 一 教學目標 1 知識與技能 了解尺規作圖的含義 會已知三邊作三角形 會已知底邊及其高作等腰三角形 會作已知角的角平分線。2 過程與方法 在作圖的過程中，體會作法的理由。3 情感態度價值觀 通過作圖感受圖形的美，培養學生的審美情趣。教學重點 用尺規作給定條件下的...