直線的交點座標與距離公式
【學習目標】
1.掌握解方程組的方法，求兩條相交直線的交點座標.
2.掌握兩點間距離公式，點到直線距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
【要點梳理】
【高畫質課堂：兩直線的交點與點到直線的距離381525 知識要點1】
要點一、直線的交點
求兩直線與的交點座標，只需求兩直線方程聯立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的座標.
要點詮釋：
求兩直線的交點座標實際上就是解方程組，看方程組解的個數.
要點二、過兩條直線交點的直線系方程
一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據具體條件取不同值的變數，稱為參變數，簡稱引數．由於引數取法不同，從而得到不同的直線系．
過兩直線的交點的直線系方程：經過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定係數．在這個方程中，無論取什麼實數，都得不到，因此它不能表示直線．
要點三、兩點間的距離公式
兩點間的距離公式為
.要點詮釋：
此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關係的判斷等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握.
要點四、點到直線的距離公式
點到直線的距離為.
要點詮釋：
（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；
（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；
（3）此公式常用於求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關係的判斷等.
要點五、兩平行線間的距離
本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.
要點詮釋：
(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；
(2)利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中x，y的係數分別是相同的以後，才能使用此公式.
【典型例題】
型別一、判斷兩直線的位置關係
例1．是否存在實數a，使三條直線，，能圍成乙個三角形？請說明理由．
【解析】 要使三條直線能圍成乙個三角形，則它們中任意兩條都不平行，且三條直線不相交於同一點．
（1）當時，，即a=±1．
（2）當時，―a=―1，即a=1．
（3）當時，，即a=1．
（4）當與、相交於同一點時，由得交點（―1―a，1），將其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．
故當a≠1且a≠－1且a≠―2時，這三條直線能圍成乙個三角形．
【總結昇華】 本例分類討論時容易疏忽某種情況，特別是三條直線相交於同一點這種情況更要注意．
舉一反三：
【變式1】直線5x+4y―2m―1=0與直線2x+3y―m=0的交點在第四象限，求m的取值範圍．
【答案】
【解析】解得
所以，解得．
型別二、過兩條直線交點的直線系方程
例2．求經過兩直線2x―3y―3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y―1=0平行的直線方程．
【答案】15x+5y+16=0
【解析】 可先求出交點座標，再根據點斜式求出所要求的直線方程；也可利用直線系（平行系或過定點系）求直線方程．
解法一：設所求的直線為，由方程組得．∵直線和直線3x+y―1=0平行，
∴直線的斜率k=―3．
∴根據點斜式有，
即所求直線方程為15x+5y+16=0．
解法二：∵直線過兩直線2x―3y―3=0和x+y+2=0的交點，
∴設直線的方程為2x―3y―3+(x+y+2)=0，
即(+2)x+(―3)y+2―3=0．
∵直線與直線3x+y－1=0平行，
∴，解得．
從而所求直線方程為15x+5y+16=0．
【總結昇華】直線系是直線和方程的理論發展，是數學符號語言中一種有用的工具，是一種很有用的解題技巧，應注意掌握和應用．
舉一反三：
【變式1】求證：無論m取什麼實數，直線(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都經過乙個定點，並求出這個定點的座標．
證法一：對於方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．
解方程組，得兩直線的交點為（2，―3）．
將點（2，―3）代入已知直線方程左邊，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．
這表明不論m取什麼實數，所給直線均經過定點（2，―3）．
證法二：將已知方程以m為未知數，整理為(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．
由於m取值的任意性，有，解得．
所以所給的直線不論m取什麼實數，都經過乙個定點（2，―3）．
型別三、對稱問題
例3．已知直線1：2x+y―4=0，求1關於直線：3x+4y―1=0對稱的直線2的方程．
【答案】2x+11y+16=0
【解析】 解法一：由，得直線1與的交點為p（3，―2），顯然p也在直線2上．
在直線1上取一點a（2，0），又設點a關於直線的對稱點為b（x0，y0），則，解得．
故由兩點式可求得直線2的方程為2x+11y+16=0．
解法二：設直線2上一動點m（x，y）關於直線的對稱點為，則
，解得．
顯然在1上，故，即2x+11y+16=0，這便是所求的直線2的方程．
【總結昇華】 求一條直線關於另一條直線的對稱直線的基本途徑是把它轉化為點關於直線對稱的問題，即在其上取一點（或兩點），求出它們關於直線的對稱點座標，再由兩點式即可求得所求的直線方程．
一般地，當對稱軸的斜率為±1時，求p（x0，y0）的對稱點q，只需由對稱軸方程解出x，再用y0代替y，即得到對稱點的橫座標，類似地，可得到縱座標．
舉一反三：
【變式1】點p（―1，1）關於直線ax―y+b=0的對稱點是q（3，―1），則a、b的值依次是（ ）
a．―2，2 b．2，―2 c． d．
【思路點撥】通過中點座標滿足對稱軸方程，利用垂直關係，列出方程求解即可．
【答案】b
【解析】點p（―1，1），關於直線ax―y+b=0的對稱點是q（3，―1），
∴pq的中點為（1，0），．
∴，解得：a=2，b=－2．
故選：b．
例4．在直線：3x―y―1=0上求一點p，使得：
（1）p到a（4，1）和b（0，4）的距離之差最大；
（2）p到a（4，1）和c（3，4）的距離之和最小．
【答案】（1）（2，5）（2）
【解析】 設b關於的對稱點為b＇，ab＇與的交點p滿足（1）；設c關於的對稱點為c＇，ac＇與的交點p滿足（2）．事實上，對（1），若p＇是上異於p的點，則 ；對於（2），若p＇是上異於p的點，則 ．
（1）如圖1所示，設點b關於的對稱點b＇的座標為（a，b），
，即，∴a+3b－12=0． ①
又由於bb＇的中點座標為，且在直線上，
∴，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，∴b＇（3，3）．
於是直線ab＇的方程為，即2x+y－9=0．
解由的直線方程與ab＇的直線方程組成的方程組得x=2，y=5，即與ab＇的交點座標為（2，5），所以p（2，5）．
（2）如圖2所示，設c關於的對稱點為c＇，求出c＇的座標為．
∴ac＇所在直線的方程為19x+17y―93=0．
ac＇和交點座標為．
故p點座標為．
【總結昇華】 由平面幾何知識（三角形任兩邊之和大於第三邊，任兩邊之差的絕對值小於第三邊）可知，要在直線上求一點，使這點到兩定點a、b的距離之差最大的問題，若這兩點a、b位於直線的同側，則只需求出直線ab的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的座標；若a、b兩點位於直線的異側，則先求a、b兩點中某一點（如a）關於直線的對稱點a＇，再求直線a＇b的方程，再求它們與直線的交點即可．對於在直線上求一點p，使p到平面上兩點a、b的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
舉一反三：
【變式1】已知點m（3，5），在直線：x―2y+2=0和y軸上各找一點p和q，使△mpq周長最小．
【答案】、
【解析】由點及直線，可求得點關於的對稱點．同樣容易求得點關於軸的對稱點．據及兩點可得到直線的方程為，
解方程組，得交點，令，得到與軸的交點．
型別四、兩點間的距離
例5．已知直線過點p（3，1），且被兩平行直線1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的線段長為5，求直線的方程．
【答案】y=1或x=3
【解析】 設直線與直線1、2分別交於點a（x1，y1）、b（x2、y2），則，兩方程相減，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ①
由已知及兩點間距離公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ②
由①②解得或，又點a（x1，y1）、b（x2，y2）在直線上，因此直線的斜率為0或不存在，又直線過點p（3，1），所以直線的方程為y=1或x=3．
【總結昇華】 從交點座標入手，採用「設而不求」「整體代入」或「整體消元」的思想方法優化了解題過程．這種解題思想方法在解析幾何中經常用到，是需要掌握的技能．另外，靈活運用圖形中的幾何性質，如對稱，線段中垂線的性質等，同樣是很重要的．
舉一反三：
【變式1】如圖，直線上有兩點a、b，a點和b點的橫座標分別為x1，x2，直線方程為y=kx+b，求a、b兩點的距離．
【答案】
例6．已知函式，求的最小值，並求取得最小值時x的值．
【答案】，
【解析】 將函式表示式變形為：，可以看作p（x，0）到點a（1，1）與到點b（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點p，使|pa|+|pb|最小．
∵ ．
它表示點p（x，0）到點a（1，1）的距離加上點p（x，0）到點b（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點p（x，0）與點a（1，1）、b（2，2）的距離之和的最小值．由下圖可知，可轉化為求兩點a＇（1，―1）和b（2，2）間的距離，其距離為函式的最小值．
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