一、直接思路
「直接思路」是解題中的常規思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑。
【順向綜合思路】從已知條件出發，根據數量關係先選擇兩個已知數量，提出可以解決的問題；然後把所求出的數量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫「綜合法」。
例1 兄弟倆騎車出外郊遊，弟弟先出發，速度為每分鐘200公尺，弟弟出發5分鐘後，哥哥帶一條狗出發，以每分鐘250公尺的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300公尺的速度向弟弟追去，追上弟弟後，立即返回，見到哥哥後又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千公尺？
分析（按順向綜合思路探索）：
（1）根據弟弟速度為每分鐘200公尺，出發5分鐘的條件，可以求什麼？
可以求出弟弟走了多少公尺，也就是哥哥追趕弟弟的距離。
（2）根據弟弟速度為每分鐘200公尺，哥哥速度為每分鐘250公尺，可以求什麼？
可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少公尺。
（3）通過計算後可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000公尺，每分鐘可追上的距離為50公尺，根據這兩個條件，可以求什麼？
可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。
（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很複雜，仔細想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？
狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。
（5）已知狗以每分鐘300公尺的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什麼？
可以求出這時狗總共跑了多少距離？
這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。
例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？
分析（仍可用綜合思路考慮）：
我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那麼就可以這樣來計數。
（1）左端點是a的線段有哪些？
有 ab ac ad ae af ag共 6條。
（2）左端點是b的線段有哪些？
有 bc、bd、be、bf、bg共5條。
（3）左端點是c的線段有哪些？
有cd、ce、cf、cg共4條。
（4）左端點是d的線段有哪些？
有de、df、dg共3條。
（5）左端點是e的線段有哪些？
有ef、eg共2條。
（6）左端點是f的線段有哪些？
有fg共1條。
然後把這些線段加起來就是所要求的線段。
二、逆向分析思路
從題目的問題入手，根據數量關係，找出解這個問題所需要的兩個條件，然後把其中的乙個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這乙個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題裡都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。
例1 兩隻船分別從上游的a地和下游的b地同時相向而行，水的流速為每分鐘30公尺，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600公尺，有一天，兩船又分別從a、b兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點比平時相遇點相差60公尺，求a、b兩地間的距離。
分析（用分析思路考慮）：
（1）要求a、b兩地間的距離，根據題意需要什麼條件？
需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。
（2）要求兩船的速度和，必要什麼條件？
兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600公尺，那麼不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）公尺，這是因為順水船速為：船速+水速，逆水船速為：
船速-水速，故順水船速與逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個船速（實為船在靜水中的速度）
（3）要求相遇的時間，根據題意要什麼條件？
兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應該是相等的，這就是說，儘管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30公尺，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點：偏離原相遇點60公尺，由此可知兩船相遇的時間為60÷30=2（小時）。
此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：
例2 五環圖由內徑為4，外徑為5的五個圓環組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個圓環蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率π取3.
14）分析（仍用逆向分析思路探索）：
（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據題意必須知道什麼條件？
曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。
（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據題意需要什麼條件？
8個小曲邊四邊形恰好是圓環面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環的總面積減去五個圓環蓋住的總面積就可以了。
（3）要求五個圓環的總面積，根據題意需要什麼條件？
求出乙個圓環的面積，然後乘以5，就是五個圓環的總面積。
（4）要求每個圓環的面積，需要什麼條件？
已知圓環的內徑（4）和外徑（5），然後按圓環面積公式求就是了。
圓環面積公式為：
s圓環=π（r2-r2）
=π（r＋r）（r－r）
其思路可用下圖（圖2.5）表示：
三、一步倒推思路
順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯絡，不可分割的。在解題時，兩種思路常常協同運用，一般根據問題先逆推第一步，再根據應用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫「一步倒推思路」。這種思路簡明實用。
例1 乙隻桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩隻空桶，利用這三隻桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？
分析（用一步倒推思路考慮）：
（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據題意，關鍵是要找到什麼條件？
因為有乙隻可裝3千克水的桶，只要在另乙隻桶裡剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關鍵是要先倒出乙個2千克水。
（2）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶裡有水3千克；第二次：
3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶裡有水6千克，把7千克桶裡的4千克水倒入3千克水桶裡，這時7千克水桶裡剩水1千克，3千克水桶裡有水3千克；第三次：3千克桶裡的水倒入10千克桶裡，這時10千克桶裡有水9千克，7千克桶裡的1千克水倒入3千克桶裡，這時7千克桶裡無水，3千克桶裡有水1千克；第四次：10千克桶裡的9千克水倒入7千克桶裡，10千克水桶裡剩下 2千克水，7千克桶裡的水倒入3千克桶裡（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶裡剩水5千克，3千克桶裡有水3千克，然後把3千克桶裡的3千克水倒10千克桶裡，因為原有2千克水，這時也正好是5千克水了。
其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：
問題：例2 今有長度分別為1、2、3……9厘公尺的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？
分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：
（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什麼？
根據題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度範圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。
（2）從條件順推。
①因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度範圍為（1+2+……
②當邊長為7厘公尺時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。
③當邊長為8厘公尺時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。
④當邊長為9厘公尺時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5種組成方法。
⑤當邊長為10厘公尺時，各邊分別由1+9、2＋8、3＋7及4＋6組成，也只有一種組成方法。
⑤當邊長為11厘公尺時，各邊分別由2+9、 3＋8、4＋7及5+6組成，也只有一種組成方法。
⑥將上述各種組成法相加，就是所求問題了。
此題的思路圖如下（圖2.8）：
問題：四、還原思路
從敘述事情的最後結果出發利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最後結果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運用還原思路解題的方法叫「還原法」。
例1 乙個數加上2，減去3，乘以4，除以5等於12，你猜這個數是多少？
分析（用還原思路考慮）：
從運算結果12逐步逆推，這個數沒除以5時應等於多少？沒乘以4時應等於多少？不減去3時應等於多少？
不加上2時又是多少？這裡分別利用了加與減，乘與除之間的逆運算關係，一步步倒推還原，直找到答案。
其思路圖如下（圖2.9）：
條件：例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？
分析（用還原思路探索）：
李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1鬥。
這樣他遇店、見花經過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？
下面我們運用還原思路，從「三遇店和花，喝光壺中酒」開始推算。
見花前——有1斗酒。
第三次：見花後——壺中酒全喝光。
第三次：遇店前——壺中有酒半斗。
第一次：見花前——壺中有酒為第二次遇店前的再加1鬥。
遇店前——壺中有酒為第一次見花前的一半。
其思路圖如下
五、假設思路
在自然科學領域內，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在「首先提出假設、猜想，然後再進行檢驗、證實」的過程中建立起來的。數學解題中，也離不開假設思路，尤其是在解比較複雜的題目時，如能用「假設」的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設、猜想，再進行檢驗、證實的解題思路，叫假設思路。
例1 中山百貨商店，委託運輸隊包運1000只花瓶，議定每只花瓶運費0.4元，如果損壞乙隻，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元。
結果運輸隊獲得運費382.5元。問：
損壞了花瓶多少只？
分析（用假設思路考慮）：
（1）假設在運輸過程中沒有損壞乙個花瓶，那麼所得的運費應該是多少？
0.4×1000=400（元）。
（2）而實際只有383.5元，這當中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞乙隻花瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞乙隻花瓶比不損壞乙隻花瓶的差額應該是多少元？
0.4＋5.1=5.5（元）
（3）總差額中含有乙個5.5元，就損壞了乙隻花瓶，含有幾個5.5元，就是損壞了幾隻花瓶。由此便可求得本題的答案。
例2 有100名學生在車站準備乘車去離車站600公尺的烈士紀念館搞活動，等最後一人到達紀念館45分鐘以後，再去離紀念館900公尺的公園搞活動。現在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300公尺和150公尺，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最後一批學生到達公園最少需要多少時間？
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