一、 初中數學10種常用的解題方法
三（5）數學複習資料2023年4月8日
數學的解題方法是隨著對數學物件的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題、精通解題方法，可以促進教師進一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。
下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。
1、配方法
所謂配方，就是把乙個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成乙個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函式的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把乙個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的乙個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。
3、換元法
換元法是數學中乙個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在乙個比較複雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的乙個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於r，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函式乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的乙個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函式，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定係數法
在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的係數，而後根據題設條件列出關於待定係數的等式，最後解出這些待定係數的值或找到這些待定係數間的某種關係，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定係數法。它是中學數學中常用的方法之一。
6、構造法
在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是乙個圖形、乙個方程(組)、乙個等式、乙個函式、乙個等價命題等，架起一座連線條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。
7、反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出乙個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明乙個命題的步驟，大體上分為：
(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有乙個/乙個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有乙個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。
歸謬是反證法的關鍵，匯出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。匯出的矛盾有如下幾種型別：
與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
8、面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關係來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯絡起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關係變成數量之間的關係，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
9、幾何變換法
在數學問題的研究中，，常常運用變換法，把複雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是乙個集合的任一元素到同一集合的元素的乙個一一對映。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。
有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。
幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。
10、客觀性題的解題方法
選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關係找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識覆蓋面廣，評卷準確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過例項介紹常用方法。
（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。
（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有乙個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。（5）**法：
借助於符合題設條件的圖形或影象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為**法。**法是解選擇題常用方法之一。
（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法
二、中考數學兩類綜合題解題方法
（一）函式型綜合題
是先給定直角座標系和幾何圖形，求(已知)函式的解析式(即求解前已知函式的型別)，然後進行圖形的研究，求點的座標或研究圖形的某些性質。
初中已知函式有①一次函式 (包括正比例函式)和常值函式，它們所對應的影象是直線;②反比例函式，它所對應的影象是雙曲線;③二次函式，它所對應的影象是拋物線。求已知函式的解析式主要方法是待定係數法，關鍵是求點的座標，而求點的座標基本方法是幾何法(圖形法)和代數法(解析法)。
（二）幾何型綜合題
是先給定幾何圖形，根據已知條件進行計算，然後有動點(或動線段)運動，對應產生線段、面積等的變化，求對應的(未知)函式的解析式(即在沒有求出之前，不知道函式解析式的形式是什麼)和求函式的定義域，最後根據所求的函式關係進行探索研究。
探索研究的一般型別有：①在什麼條件下三角形是等腰三角形、直角三角形;②四邊形是菱形、梯形等;③探索兩個三角形滿足什麼條件相似;④**線段之間的位置關係等;⑤探索面積之間滿足一定關係求x的值等;⑥直線(圓)與圓的相切時求自變數的值等。
求未知函式解析式的關鍵是列出包含自變數和因變數之間的等量關係(即列出含有x、y的方程)，變形寫成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和復合法(列出含有x和y和第三個變數的方程，然後求出第三個變數和x之間的函式關係式，代入消去第三個變數，得到y=f(x)的形式)，當然還有引數法，這個已超出初中數學教學要求。
找等量關係的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等……求定義域主要是尋找圖形的特殊位置 (極限位置)和根據解析式求解。
而最後的探索問題千變萬化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數的方法求出x的值。
今年的數學綜合題啟示我們在進行綜合思維的時候要做到：數形結合記心頭，大題小作來轉化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，方程函式是工具，計算推理嚴謹，創新品質得提高。
三、關於三角形的「四心」
1、三角形重心的幾條性質：（三邊中線交點）
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空間直角座標系——橫座標：(x1+x2+x3)/3 縱座標：(y1+y2+y3)/3 豎座標：
（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
2、三角形垂心的性質（三高交點）
設⊿abc的三條高為ad、be、cf，其中d、e、f為垂足，垂心為h，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
3、 垂心h關於三邊的對稱點，均在△abc的外接圓上。
4、 △abc中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且ahhd
3、三角形外心的性質（三邊中垂線交點）
4、三角形內心的性質（三角平分線交點）
中考數學常用10種解題方法
數學的解題方法是隨著對數學物件的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題 精通解題方法，可以促進教師進一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。1 配方法所謂配方，就是...
初中數學常用的種解題方法
數學的解題方法是隨著對數學物件的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題 精通解題方法，可以促進教師進一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。1 配方法 配方，就是把...
初中數學常用的十種解題方法
初中數學的解題方法很多，常用的有十種方法。是隨著對數學物件的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題解法，練好解題的基本功，方能提高解題技巧和業務水平和教學能力。下面介紹初中數學中最常用的十種方法的。1 配方法 所謂配方，就是把乙個解析式利用恒等變形，通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的...