個人觀點，僅供參考
2023年法國學者貝特朗提出：在半徑為1的圓內任作一條弦，求該弦的長度長於圓的內接正三角形邊長的概率，即「貝特朗悖論」。 雖奇論已蓋棺定論，但對此問題爭辯的「硝煙」仍未散去。
不少教師對此類問題說理不清， 莫衷一是現象。本文依據幾何概型理論，提出「非質點」觀點，運用非質點幾何概型方法解析貝特朗奇論，說理清晰透徹，易於解惑，同時也加深理解幾何概型原理，促進非質點幾何概型問題的研究。
1 依據理論，確定研究貝特朗奇論的方法
由奇論知：一次隨機試驗下的基本事件是圓的弦，即線段。我認為：貝特朗奇論的爭論實質就是非質點幾何概型的解析方法問題。
1.1 非質點幾何概型概念
在幾何概型中，一次隨機試驗下的基本事件是線段（或射線或直線或圓或球）等非質點, 我們
把這類問題稱為基本事件是非質點的幾何概型，簡稱非質點幾何概型。
在幾何概型中，一次隨機試驗下的基本事件是點或數（或數對）, 我們把這類問題稱為基本事件是質點的幾何概型，簡稱質點幾何概型.
高中數學教材的幾何概型習題中多為質點幾何概型，但也有非質點幾何概型問題，如蘇教版必修3（高中教材2023年出版）第104頁第5題、第6題、人教版必修3（高中教材2023年出版）第142頁的船舶停靠問題、布豐投針試驗、貝特朗悖論等都是非質點幾何概型問題。
1.2解決幾何概型的理論依據
蘇教版必修3的教參給了幾何概型描述性定義：設d是乙個可度量的區域（例如線段、平面圖形、立體圖形等），每個基本事件可以視為從區域d內隨機地取一點，區域d內的每一點被取到的機會都一樣，隨機事件a的發生可以視為恰好取到區域d內的某個指定區域d中的點.這時事件a發生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關，我們把滿足這樣的概率模型稱為幾何概型,其中p(a)=。
由上知解決幾何概型的思路：把乙個隨機試驗下的每個基本事件轉化為幾何區域d內的一點，若事件a發生對應的區域d， 則p(a)=。
我們知道：數對應數軸上的點；二元有序數對對應平面中的點；三元有序數對對應空間中的點。故若基本事件是非質點，則把基本事件表示為數或數對。
若數或數對的對應點形成的區域是線段或曲線段，則測度為長度；若數對的對應點形成的區域是平面或曲面，則測度為面積；若數對的對應點形成的區域是空間幾何體，則測度為體積。測度中沒有角度。利用角度求概率實質是測度為長度。
1.3 研究非質點幾何概型方法
解決非質點幾何概型的關鍵是：把乙個隨機試驗下的每個基本事件——非質點轉化為幾何區域d內的一點，基本事件與點是一一對應關係，且每個點的分布是等可能的。
題 1 把半徑為1的硬幣隨意投到半徑為10的圓盤裡，硬幣不豎立，且整個硬幣落在圓盤內，求硬幣遮住圓盤圓心的概率。
分析：題中一次試驗的基本事件為圓，而每個圓對應乙個圓心，即每個基本事件對應乙個圓心，因此把基本事件是圓轉化為點，這些圓心形成半徑為9的圓面，故測度為面積，又硬幣遮住圓心的圓對應的圓心形成半徑為1的圓面.所以答案為，解略。
評注：利用一一對應性把基本事件的非質點——圓轉化為點——圓心，又基本事件的圓是等可能，故對應的圓心也是等可能分布的。
題 2 （布豐投針試驗）平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等於，向此平面任投一長度為的針，試求此針與任一平行線相交的概率。
分析：如圖2，題中一次試驗的基本事件是線段，而每個線段可由此線段的中點和線段與平行線的交角唯一確定。根據題意此中點和此交角只需兩個數表示。
以表示針的中點到最近的一條平行線的距離，表示針與平行線的交角。即線段用數對表示，顯然有，。為使針與平行線相交，則有，。
解：設針的中點到最近的一條平行線的距離為，針與平行線的交角為，如圖3所有事件構成的區域是記針與平行線的交角為事件a，事件a構成的區域， =，p(a)=. 所以針與任一平行線相交的概率。
評注：利用一一對應性把基本事件的非質點——線段（針）轉化為基本事件為點——線段中點和方向二元數對的對應點，又每個線段（針）是等可能，則線段中點和線段方向是等可能，用二元表示的數對的對應點也是等可能分布的。
非質點幾何概型的解析步驟：（1）明晰一次隨機試驗下基本事件的非質點型別；（2）利用一一對應性把每個基本事件是非質點轉化為基本事件為點或數（或數對）的對應點，且對應點是等可能分布；（3）明確點或數（或數對）的對應點形成的區域（4）根據區域圖形確定測度求概率。
非質點幾何概型解析方法的關鍵是：把每個基本事件的非質點表示為乙個點或數（或數對）的對應點，滿足一一對應性，這些點在幾何區域d內是等可能分布的。
2 以「非質點」觀點解析貝特朗奇論的經典解法
貝特朗奇論的經典解法有如下三種：
解法一：如圖4由於對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～ 12 0° 之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為。
解法二：如圖5由於對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直於此方向的直徑，只有交直徑於點與點間的弦，其長才大於內接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為。
解法三：如圖6弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的,則所求概率為。
分析：由題知，奇論裡一次隨機試驗下的基本事件是圓的弦，即線段，此題是非質點幾何概型問題。弦是圓上兩個點連線的線段，但得到弦的方式有多種。
文中沒有指明作弦的方式，所以「作」弦的方法可以有：（1）由弦的兩個端點確定弦；（2）由弦的乙個端點和弦的中點確定弦；（3）弦的一端點和弦上在圓內的點確定弦；（4）由弦的乙個端點和弦的方向確定弦；（5）由弦的中點和弦的方向確定弦；（6）由弦的乙個端點和弦的長度確定弦；（7）弦的長度和弦的方向確定弦等多種方法。
解法一理解解析：作弦的方法是：由弦的乙個端點和弦的方向確定弦，認為弦的乙個端點和弦的方向是等可能。
在圓上取一點q，設a到q逆時針方向的圓弧長度為，過點a的切線為ap，設，弦用有序數對（）確定表示。顯然有＜，＜＜，用邊長分別為、的長方形表示樣本空間，僅當＜，＜＜時，其才合乎要求，故所求概率為。
評注：由弦的乙個端點和弦的方向確定弦，把弦表示為二元有序數對，即把基本事件是弦轉化為基本事件為點。假設弦的乙個端點和弦的方向都是等可能，故二元數對的對應點也是等可能分布。
解法一是預先固定弦的一端，對作弦附加條件，而原題是在圓內任意作弦，故解法一不對。其實心細的讀者可發現：本解析測度為面積，而解法一的測度為長度，但結果一樣。
為什麼解法一是正確的呢？原因是本解析所求概率為兩個同長度的矩形面積比，又等於這兩個矩形高比（即表示弦方向的角度值比），所以由弦的乙個端點和弦的方向確定弦時，可預先固定弦的一端，樣本空間由二維平面變為一維線段的降維處理就得到解法一。解法一是正確的。
解法二理解解析：作弦的方法是：由弦的方向和弦的中點確定弦，認為弦的方向是等可能分布和弦的中點在垂直於此方向的直徑上是等可能分布。
在圓上任取直徑ab，則弦的方向與ab垂直；，在直徑ab任取一點c，。在圓上取點q，設a到q逆時針方向的圓弧長度為，設，顯然有＜，，用邊長分別為、2的長方形表示樣本空間，僅當＜，時，其才合乎要求，故所求概率為。
評注：由弦的方向和弦的中點確定弦，把弦表示為二元有序數對，即把基本事件是弦轉化為基本事件為點。假設弦的方向是等可能分布，弦的中點在直徑上是等可能，故二元數對的對應點也是等可能分布。
解法二是先固定弦的方向，對作弦附加條件，而原題是在圓內任意作弦，故認為解法二不對。讀者同樣可發現：本解析測度為面積，解法二的測度為長度，但結果一樣。
原因是本解析所求概率為兩個同長度的矩形面積比，又等於這兩個矩形高比（即表示弦中點在直徑上形成的線段長度比），所以由弦的方向和弦的中點確定弦時，可先固定弦的方向，樣本空間由二維平面變為一維線段得到解法二。解法二是正確的。
解法三理解解析：作弦的方法是由弦的中點確定弦，認為弦的中點位置在圓內是等可能的。但當弦的中點在圓心處，則弦的方向不確定，所以還需研究弦的方向。
以圓心為原點如圖9建立平面直角極座標系，設弦的中點a，,弦的方向是弦與軸的正方向所成的傾斜角，弦用表示。當，若，則；若，則；若，則。特別的，當時，若，則；若，則；若，則。
即當弦的中點在圓心，則弦的方向也同上由唯一確定。樣本空間是空間直角座標系中雙螺旋旋轉曲面如下圖（類似基因片段雙螺旋結構），僅當，若，則；若，則；若，則時，其才合乎要求，故所求概率為。
評注：作弦的方法是由弦的中點確定弦，則必須明確弦的方向，因為當弦的中點在圓心時，則弦的方向不確定，故弦由弦的中點位置和弦的方向三個有序數對表示，即把基本事件是弦轉化為基本事件為點。假設弦的中點等可能，則弦的方向也是等可能（因為弦的中點和弦的方向是確定關係），所以三元數對的對應點是等可能分布。
解法三以弦的中點位置在圓內是等可能的假設解答的，當弦的中點不在圓心時的弦只有乙個，但當弦的中點在圓心時的弦有無數個，所以這種以弦的中點位置在圓內是等可能的假設不合理，故解法三錯誤。其實本解析與解法三雖然測度均為面積，但樣本空間不同（本解法樣本空間為雙螺旋旋轉曲面（類似基因片段雙螺旋結構），解法三樣本空間為圓面），最後結果一樣。理由是：
在本解析中當弦中點為圓心時，基本事件的對應點形成為z軸上的一線段（如圖12），有無這一線段對曲面面積的大小無影響，故可不計弦中點過圓心的情況，所以以弦的中點位置在圓內是等可能的假設是合理的，解答即為解法三。解法三是正確的
3 結論與思考
3.1 貝特朗奇論是條件不明確的非質點幾何概型問題。
奇論的一次試驗是在圓內任作一條弦，由於作弦方式不明確，所以可以有不同的作弦方法，也就有了不同的「等可能性假定」。根據非質點幾何概型方法，需利用一一對應性和等可能性把弦轉化為數（或數對）的對應點，導致有不同的樣本空間，而各種假設不能相互轉化，所以答案存在有多種。以「非質點」觀點解析貝特朗奇論，可以得出：
貝特朗奇論不是奇論，更不是悖論，而是問題條件不明確導致答案不確定的非質點幾何概型問題。
3.2貝特朗奇論的答案有無數個
在貝特朗奇論中新增適當的作弦條件，答案是明確的，如：
題 2設圓心為o半徑為1的圓m，在圓心為o半徑為（>1）的圓n上任取一點a，過點a任作圓m的弦，求該弦的長度長於圓m的內接正三角形邊長的概率。
，用邊長分別為的長方形表示樣本空間，僅當＜，時，其才合乎要求，故所求概率為。用此方法作弦，貝特朗奇論的概率是與（>1）有關的值。當變化時，概率值範圍為，所以可說明貝特朗奇論可以有無數種答案。