北京市西城區2023年高三一模試卷
數學（文科） 2016.4
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 設集合，集合，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
2. 設命題p：，則p為（ ）
（a） （b） （c） （d）
3. 如果是定義在上的奇函式，那麼下列函式中，一定為偶函式的是（ ）
（a） （b） （c） （d）
4．下面莖葉圖表示的是甲、乙兩個籃球隊在3次不同比賽中的得分情況，其中有乙個數字模糊不清，在圖中以m表示. 若甲隊的平均得分不低於乙隊的平均得分，那麼m的可能取值集合為（ ）
（a） （b） （c） （d）
5. 在平面直角座標系中，向量＝(1, 2)，＝(2, m) ， 若o, a, b三點能構成三角形，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
6. 執行如圖所示的程式框圖，若輸入的分別為0, 1，則輸出的（ ）
（a）4 （b）16 （c）27 （d）36
7. 設函式，則「」是 「函式在上存在零點」的（ ）
（a）充分而不必要條件b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
8. 在某校冬季長跑活動中，學校要給獲得
一、二等獎的學生購買獎品，要求花費總額不得超過200元. 已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為20元、10元，一等獎人數與二等獎人數的比值不得高於，且獲得一等獎的人數不能少於2人，那麼下列說法中錯誤的是（ ）
（a）最多可以購買4份一等獎獎品
（b）最多可以購買16份二等獎獎品
（c）購買獎品至少要花費100元
（d）共有20種不同的購買獎品方案
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9. 在復平面內，複數與對應的點關於虛軸對稱，且，則____.
10．在△abc中，，，，則_____.
11．若圓與雙曲線c：的漸近線相切，則_____；雙曲線c的漸近線方程是____.
12．乙個稜長為2的正方體，被乙個平面截去一部分後，所得幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為____.
13. 有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色的塗料，且三個房間的顏色各不相同．三個房間的粉刷面積和三種顏色的塗料費用如下表：
那麼在所有不同的粉刷方案中，最低的塗料總費用是 _______元.
14. 設函式則____；若，，則的大小關係是______.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
設函式.
（ⅰ）求函式的最小正週期；
（ⅱ）求函式在上的最大值與最小值.
16．（本小題滿分13分）
已知等差數列的公差，，.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，記數列前n項的乘積為，求的最大值.
17．（本小題滿分14分）
如圖，在四稜柱中，底面，，，.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求證：；
（ⅲ）若，判斷直線與平面是否垂直？並說明理由.
18．（本小題滿分13分）
某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試，現從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理資料並按分數段，，，，，進行分組，假設同一組中的每個資料可用該組區間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）.
（ⅰ）體育成績大於或等於70分的學生常被稱為「體育良好」. 已知該校高一年級有1000名學生，試估計高一年級中「體育良好」的學生人數；
（ⅱ）為分析學生平時的體育活動情況，現從體育成績在和的樣本學生中隨機抽取2人，求在抽取的2名學生中，至少有1人體育成績在的概率；
（ⅲ）假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為，且分別在，，三組中，其中．當資料的方差最大時，寫出的值.（結論不要求證明）
（注：，其中為資料的平均數）
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓：的長軸長為，為座標原點.
（ⅰ）求橢圓c的方程和離心率；
（ⅱ） 設動直線與y軸相交於點，點關於直線的對稱點在橢圓上，求的最小值.
20．（本小題滿分13分）
已知函式，且.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若對於任意，都有，求的最小值；
（ⅲ）證明：函式的圖象在直線的下方.
北京市西城區2023年高三一模試卷參***及評分標準
高三數學（文科
2016.4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1．b2．a3．b4．c
5．b6．d7．a8．d
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9101112
13．146414
注：第11，14題第一問2分，第二問3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為
4分6分
所以函式的最小正週期為7分
（ⅱ）解：由（ⅰ），得8分
因為，所以所以.所以11分
且當時，取到最大值；
當時，取到最小值13分
16．（本小題滿分13分）
（ⅰ）（ⅰ）解：由題意，得3分
解得或（舍5分
所以7分
（ⅱ）解：由（ⅰ），得.
所以.所以只需求出的最大值9分
由（ⅰ），得.
因為11分
所以當，或時，取到最大值.
所以的最大值為13分
17．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：因為，平面，平面，
所以平面2分
因為，平面，平面，
所以平面.
又因為，
所以平面平面. ………… 3分
又因為平面，
所以平面4分
（ⅱ）證明：因為底面, 底面，
所以5分
又因為, ,
所以平面7分
又因為底面，
所以9分
（ⅲ）結論：直線與平面不垂直10分
證明：假設平面，
由平面，得11分
由稜柱中，底面，
可得，，
又因為，
所以平面，
所以12分
又因為，
所以平面，
所以13分
這與四邊形為矩形，且矛盾，
故直線與平面不垂直14分
18．（本小題滿分13分）
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