計算機中數值的三種表示方法詳解
原碼，反碼，補碼
最近在學習軟體評測師的知識，其中涉及到計算機的原碼, 反碼和補碼等知識. 通過網上查閱資料，進行了深入學習，分享給大家。本文主要從以下幾點進行介紹：
如何計算原碼，反碼，補碼？為何要使用反碼和補碼？希望本文對大家學習計算機基礎有所幫助
一. 機器數和真值
在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數和真值的概念.
1、機器數
乙個數在計算機中的二進位制表示形式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用乙個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1.
比如，十進位制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進位制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那麼，這裡的 00000011 和 10000011 就是機器數。
2、真值
因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值131（10000011轉換成十進位制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法.
計算機中的符號數有三種表示方法，即原碼、反碼和補碼。三種表示方法均有符號位和數值位兩部分，符號位都是用0表示「正」，用1表示「負」，而數值位，三種表示方法各不相同。
1. 原碼
原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其餘位表示值. 比如如果是8位二進位制:
[+1]原= 0000 0001
[-1]原= 1000 0001
第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進位制數的取值範圍就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即[-127 , 127]
原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.
2. 反碼
反碼的表示方法是:
正數的反碼是其本身
負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其餘各個位取反.
[+1] = [00000001]原= [00000001]反
[-1] = [10000001]原= [11111110]反
可見如果乙個反碼表示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.
3. 補碼
補碼的表示方法是:
正數的補碼就是其本身
負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其餘各位取反, 最後+1. (即在反碼的基礎上+1)
[+1] = [00000001]原= [00000001]反= [00000001]補
[-1] = [10000001]原= [11111110]反= [11111111]補
對於負數, 補碼表示方式也是人腦無法直**出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.
簡單總結以下，反碼和補碼的表示方式以及計算方法.
對於正數，三種編碼方式的結果都相同:
正整數的原碼、反碼、補碼完全一樣，即符號位固定為0，數值位相同。
[+1] = [00000001]原= [00000001]反= [00000001]補
對於負數，三種編碼方式則完全不同：
負整數的符號位固定為1，由原碼變為補碼時，規則如下：
1、原碼符號位1不變，整數的每一位二進位制數字求反，得到反碼
2、反碼符號位1不變，反碼數值位最低位加1，得到補碼
[-1] = [10000001]原= [11111110]反= [11111111]補
可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的.
三. 為何要使用原碼, 反碼和補碼
既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?
在計算機系統中，數值一律用補碼來表示和儲存。原因在於，使用補碼，可以將符號位和數值域統一處理；同時，加法和減法也可以統一處理。此外，補碼與原碼相互轉換，其運算過程是相同的，不需要額外的硬體電路。
下面以一些例子進行詳細介紹。
人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對於計算機, 加減乘數已經是最基礎的運算, 要設計的盡量簡單.
計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分複雜! 於是人們想出了將符號位也參與運算的方法. 我們知道, 根據運算法則減去乙個正數等於加上乙個負數, 即:
1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.
於是人們開始探索將符號位參與運算, 並且只保留加法的方法. 首先來看原碼:
計算十進位制的表示式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原+ [10000001]原= [10000010]原= -2
如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對於減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼表示乙個數.
為了解決原碼做減法的問題, 出現了反碼:
計算十進位制的表示式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原= -0
發現用反碼計算減法, 結果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的.
而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.
於是補碼的出現, 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]補+ [1111 1111]補= [0000 0000]補=[0000 0000]原
這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]補+ [1000 0001]補= [1000 0000]補
-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]補就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128並沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)
使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示乙個最低數. 這就是為什麼8位二進位制, 使用原碼或反碼表示的範圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的範圍為[-128, 127].
因為機器使用補碼, 所以對於程式設計中常用到的32位int型別, 可以表示範圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多儲存乙個最小值.
四原碼, 反碼, 補碼原理：模的概念
計算機巧妙地把符號位參與運算, 並且將減法變成了加法, 背後蘊含了怎樣的數學原理呢?
模的概念可以幫助理解補數和補碼。「模」是指乙個計量系統的計數範圍。如時鐘等。
計算機也可以看成乙個計量機器，它也有乙個計量範圍，即都存在乙個「模」。例如：時鐘的計量範圍是0～11，模=12。
表示n位的計算機計量範圍是0～2^(n)-1，模=2^(n)。
「模」實質上是計量器產生「溢位」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。
假設當前時針指向6點，而準確時間是4點，我希望將時間設定成4點, 需要怎麼做呢?調整時間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時，即：
6-4=2；另一種是順撥10小時：6+10=12+4=4
1. 往回調2個小時: 6 - 2 = 4
2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12後的餘數是4. 所以鐘錶往回調(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代!
現在的焦點就落在了如何用乙個正數, 來替代乙個負數. 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠感覺.
首先介紹乙個數學中相關的概念: 同餘——兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a，b對於模m同餘
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關於模 m 同餘。
舉例說明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關於模 12 同餘.
負數取模
正數進行mod運算是很簡單的. 但是負數呢?
下面是關於mod運算的數學定義:
上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(word中貼上過來後亂碼). 下面是使用"l"和"j"替換上圖的"取下界"符號:
x mod y = x - y l x / y j
上面公式的意思是:
x mod y等於 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2
= -3 - 2xl -3/2 j
= -3 - 2xl-1.5j
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
再回到時鐘的問題上:
回撥2小時 = 前撥10小時
回撥4小時 = 前撥8小時
回撥5小時= 前撥7小時
注意, 這裡發現的規律!
結合上面學到的同餘的概念.實際上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
第二章計算機中的資訊表示
一 單項選擇題 請將單項選擇題答案填在下面 1 將外圍裝置與主存統一編址，一般是指 1 每台裝置佔乙個位址碼 2 每個外圍介面佔乙個位址碼 3 每台外設由乙個主存單元管理 4 介面中的有關暫存器各佔乙個位址碼 2 指令格式中的位址結構是指 1 位址段佔多少位 2 指令中採用幾種定址方式 2 指令中如...
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