思考題6-1
（1）正確。
（2）不正確。有可能無解，例如，有唯一解，但無解。
（3）正確。因為，，所以一定有解.
（4）正確。因為，所以有非零解.
習題6-1
1.（1）或2）
2.（1）當且時，有唯一解；當或時，無解；當時，有無窮多個解。
（2）當且時，有唯一解；當時，無解；當時，有無窮多個解。
（3）當且時，有唯一解；當時，無解；當時，有無窮多個解。
（4）當且時，無解；當時，有唯一解；當時，有無窮多個解。
3. 當時，向量能由向量組線性表示。
4.解：方程組與方程有公共解，就是方程組是有解的。
當且時，無解；當時，有無窮多個解；當時，有唯一解。
5. 證法1：由，得，
因為和都是非零矩陣，所以因而且.
證法2：由可知，的列向量都是方程組的解。因為是非零矩陣，所以方程組有非零解，.
6. 證法1：由可知,存在可逆矩陣和，使得
令，則是秩為m的n×m矩陣，.
證法2:要證存在矩陣使，只需證明方程組是有解的。
因為，，所以一定有解。
設是方程組的解，並令，則是秩為m的n×m矩陣，且.
7. 證：充分性設
兩式相減，得
.由於向量組線性無關，因此
即故向量由線性表示的表示式是唯一的。
必要性設向量由向量線性表示的表示式唯一，並設
1）下面用反證法來證向量組線性無關.
設線性相關，則存在不全為零的數使得
2）將（1）和（2）相加，得
因為不全為零，所以上式與（1）不同，這與由線性表示的表示式唯一矛盾，故向量組線性無關.
思考題6-2
1.一般不唯一。
2.的兩個不同的基礎解系之間是等價的。
型方程組有解時，自由未知數的個數等於.
因為中無關行向量（即方程組中無關方程）的個數為個，對方程組化簡，最後剩下個方程，乙個方程能確定乙個未知數，多出個未知數，所以自由未知數的個數等於.
4.一般不唯一。按例6-5中的方法選擇自由未知數的好處是：很好地利用了前面的化簡結果 ，這樣做能使後面的計算簡便易行。
習題6-2
1.該方程組的基礎解系為
2.（1）通解為，基礎解系為。
（2）注：將該方程組化簡，得，讓為自由未知數。
通解為，基礎解系為。
(3) 通解為，基礎解系為。
3.（1）通解為； （2）通解為；
（3）通解為.
4.解：因為為方程組的基礎解系，所以是方程組的解，線性無關，且的基礎解系含3個向量。
記, ,
顯然，也是方程組的解，個數也是3個，只需要求線性無關即可。
，其中現在需要，解得
5.解：因為線性無關，，所以，的基礎解系只含乙個向量。
由，即，可知是的解。
由，可知是的特解，故的通解為
6.解：由可知，的基礎解系只含乙個向量。
因為是的解，所以.於是，，是的解。
的通解為
7.設是非齊次方程組的乙個解，是的乙個基礎解系，，證明：
（1）的通解為
其中為任意常數，且；
（2）向量組線性無關;
（3）向量組線性無關.
8.證明：
（1）與同解;
(2) 若m×n型矩陣的秩為，，則存在秩為的n×s型矩陣，使得
9. 證明方程組總是有解的，其中
第6章答案
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