李雅普諾夫指數綜述

一、李雅普諾夫指數的提出與歷史

2023年冬季的一天，為了考察一條更長的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他在進行天氣模式計算時沒有從頭開始執行，而是從中途開始。作為計算的初值，他直接輸入了上次運算的輸出結果，然後他穿過大廳下樓，清淨的去喝一杯咖啡。

乙個小時之後他回來時，看到了出乎意料的事。從幾乎相同出發點開始，洛倫茲看到他的計算機產生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。就是這件事播下了一門新科學的種子。

穩定體系的相軌線相應於趨向某個平衡點，如果出現越來越遠離平衡點，則系統是不穩定的。系統只要有乙個正值就會出現混沌運動。判斷乙個非線性體統是否存在混沌運動時，需要檢查它的李雅普諾夫指數λ是否為正值。

二、李雅普諾夫指數的定義

lyapunov 指數是描述時序資料所生成的相空間中兩個極其相近的初值所產生的軌道，隨時間推移按指數方式分散或收斂的平均變化率。任何乙個系統，只要有乙個lyapunov 大於零，就認為該系統為混沌系統。

李雅普諾夫指數是指在相空間中相互靠近的兩條軌線隨著時間的推移，按指數分離或聚合的平均變化速率。李雅普諾夫指數的定義: 首先考慮一維對映假設初始位置附近有一點，則經過一次迭代後，這兩點之間的距離為：

（1）並利用微分中值定理有：

（2）n次迭代後，並利用微分中值定理，這兩點之間的距離為：

（3）由（3）式可得：（4）又由復合函式的微分規則有：

其中那麼式（4）就變為：

（5）則稱（6）為lyapunov指數。

一維對映就對應乙個李雅普諾夫指數，而且當時，該系統具有混沌特性。當時，對應著分岔點或系統的週期解，既系統出現週期現象。時，系統有穩定的不動點，即此時對應的是乙個點。

而對於多維系統則有多個李雅普諾夫指數。

lyapunov ，僅從數學角度考慮，lyapunov特性指數無量綱。n 維系統具有 n 個 lyapunov 特性指數，形成指數譜。其中數值最大的被稱為最大 lyapunov 特性指數。

最大 lyapunov 指數定義為

其中，表示時刻最鄰近零點間的距離；m為計算總步數。最大 lyapunov指數不僅是區別混沌吸引子的重要指標，也是混沌系統對於初始值敏感性的定量描述。其中一維系統只有乙個指數，二維系統有兩個指數來表徵。

在實際計算中,要計算所有的lyapunov指數,計算量較大,尤其當系統維數l較大時更為突出.所以注意力集中在計算系統的最大lyapunov指數λm上.

三、李雅普諾夫指數的物理意義

系統的lyapunov指數譜可有效地表徵變數隨時間演化時，系統對初值的敏感性。指數小於零說明體系的相體積在該方向上是收縮的，此方向的運動是穩定的；

而正的指數值則表明了體系的相體積在該方向上不斷膨脹和摺疊，以致吸引子中本來鄰近的軌線變得越來越不相關，從而使初態對任何不確定性的系統的長期行為成為不可**，即所謂的初值敏感性。

進一步意義：設某一系統的指數譜為

（從大到小排列），若該系統具有混沌吸引子，則必須同時滿足以下條件

（1）至少存在乙個正李雅普諾夫指數

（2）至少存在某一指數為0

（3）指數譜之和為負。

混沌運動的基本特點是運動狀態對初始條件的高度敏感性。兩個極為靠近的初值所產生的軌道,隨時間推移按指數形式分離,lyapunov指數是定量描述這一現象的量。

對所討論的duffing振子,若它的lyapunov指數均小於零, :若存在乙個lyapunov特性指數大於零,就說明系統是處於混沌狀態。這種判別方法計算簡單,物理意義明確,誤差小。

四、計算此指數的幾種方法

用logistic對映產生的模擬時間序列資料，採用兩種從實驗資料時間序列恢復動力學的方法，計算混沌吸引子的lyapunov指數。

一種方法是和提出的混合嫡法〔8一〕，這種方法特別適合一維的實驗系統。另一種方法是提出的重構吸引子法〔7〕，這種方法可以推廣到相空間維數及動力學規律都不知道的更普遍的實驗系統，在原則上可以計算系統的全部正lyapunov指數譜。

具體的方法還有

1.從動力學規律計算lyapunov指數

2. chang一wright混合嫡法

chang一wright混合嫡法僅適用於可化為一維凸對映的情況。一般來說，總點數n及盒子數凡越大，所得結果越精確。

3. wolf重構法

wolf重構法以takens的延遲座標重構相空間技術為基礎，對於乙個由觀測得到的實驗資料時間序列x(t)以延遲座標重構m維相空間中的一條軌道，

計算最大lyapunov指數的wolf程式，一般適合於嵌入維m>1的重構吸引子的時間序列。