自貢市蜀光中學2023年高一自主招生考試
數學試題
注意事項
1、 全卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。
2、 試卷分為第ⅰ卷和第ⅱ卷，第ⅰ卷為客觀題（選擇題），答案用鉛筆塗在機讀卡上；第ⅱ卷為主觀題，答在試題相應的位置上。
3、 這是別人的，**後請於二時四小時內刪除
第ⅰ卷（共３０分）
一、選擇題：（共10小題，每題3分，共30分）
1、a. b. c. d.
2、已知某商品漲價x成（即1成即10%），銷量減少成,若要獲得最大銷額，則需漲價（ ）成。
a. 1 b.2 c.3 d .4
3、如圖ac⊥bc於c，bc＝a, ca=b, ab=c, ⊙o與直線ab、bc、ac都相切，則⊙o的半徑為（ ）
a. b. c. d.
4、如果,那麼m的取值範圍是( )
a m>－3b m－3 c m－3 d m<－3
5、如圖線段ab,cd將大長方形分成四個小長方形，
其中，，，則
a. b. c.10 d.
6、如圖，矩形abcg（abcdef全等，點b、c、d在同一條直線上，
的頂點p**段bd上移動，使
為直角的點p的個數是
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
7、已知拋物線y=ax2+2ax+4(0a. y1< y2 b. y1= y2 c. y1> y2 d. y1與y2的大小不能確定
8、假期裡王老師有乙個緊急通知，要用**盡快通知給他所教兩個班的90個同學,假設每通知乙個同學需要1分鐘時間，同學接到**後也可以相互通知，那麼要使所有同學都接到通知最快需要的時間為( )
a. 8分鐘 b.7分鐘 c.6分鐘． d.5分鐘
9、已知：二次函式y=+x+a(a為大於0的常數)，當x=m時的函式值y<0；
則當x=m+1時的函式值y2與0的大小關係為( )
a. y2>0 b. y2<0 c. y2=o d. 不能確定
10、如圖，點a是函式y=的圖象上的點，點b、c
的座標分別為b(-，-)、c(，)。
試利用性質：「函式y=的圖象上任意一點a
都滿足|ab-ac|=2」求解下面問題：
「作∠bac的內角平分線ae，過b作ae的垂線交ae於f，當點a在函式y=的圖象上運動時，點f總在一條曲線上運動，則這條曲線為( )
a. 直線 b. 拋物線 c. 圓 d. 反比例函式的曲線
二．填空題：（共6題，每題4分，共24分）
1、將分別標有數字0,1,2,3,4的五張卡片洗勻後，背面朝上放在桌面上。隨機地抽取一張作為千位上的數字（不放回），再抽取一張作為百位上的數字（不放回），再抽取一張作為十位上的數字，而箇位已經為0,這樣組成的四位數恰好是「2010」的概率為
2、直角座標系中，點a(0，0)，b(2，0)，c(0，2)，若有一三角形與△abc全等，且有一條邊與bc重合，那麼這個三角形的另乙個頂點座標是
3、小明設計了乙個電子遊戲：一電子跳蚤從橫座標為t(t＞0)的p1點開始，按點的橫座標依次增加1的規律，在拋物線＞0)上向右跳動，得到點p2、p3，這時△p1p2p3的面積為
4、實數x、y滿足x2－2x－4y＝5，記t＝x－2y，則t的最大值為
5、如圖，已知二次函式y= (a)的圖象，
①>0②③9a3b+c<16a+4b+c
④< (m1的實數)
則以上結論正確序號是只填序號）。
6、已知ab=10,p是線段ab上任意一點，在ab的同側
分別以ap和pb為邊做等邊三角形△apc和等邊三角形△bpd,
則線段cd長度的最小值為
三、解答題：（共7個小題，1、2題每題11分，3題12分，4、5題每題14分，6題16分，7題18分，共96分）
1、解答下列兩題
（1）（5分）計算： +3+
（2）（6分）已知：如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，
ab=ad=2，∠a=60°，bc=5，求cd的長。
2、如圖，一次函式的圖象過點p（1，2），交x軸的正半軸與a，交y軸的正半軸與b，求△aob面積的最小值．
3..如圖,在rt△abc內有矩形defg,點d在邊ab上，g在邊ac上，ef在斜邊bc上，已知ab=3,ac=4, 矩形defg的面積為，求線段be的長
4、如圖，已知⊙和⊙相交於,兩點，過點作⊙的切線交⊙於點，過點作兩圓的割線分別交⊙,⊙於, ,與相交於點。
（1）求證：；
（2）求證
（3）當⊙的面積與⊙的面積相等且時，求與的面積的比值。
5、已知關於x的方程有兩個正整數根（m是整數）。
△abc的三邊a、b、c滿足，，。
求：⑴ m的值；⑵ △abc的面積。
6、在直角中，，直角邊與直角座標系中的軸重合，其內切圓的圓心座標為，若拋物線的頂點為a。求：
⑴ 求拋物線的對稱軸、頂點座標和開口方向；
⑵ 用表示b點的座標；
⑶ 當取何值時，
7、在平面直角座標中，邊長為1的正方形oabc的兩頂點a、c分別在軸、軸的正半軸上，點o在原點.現將正方形oabc繞o點順時針旋轉，當a點第一次落在直線上時停止旋轉．旋轉過程中，ab邊交直線於點m，bc邊交軸於點n（如圖1)。
（1）求邊ab在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）設△mbn的周長為p，在旋轉正方形oabc的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論；
（3）設mn=，當為何值時△omn的面積最小，最小值是多少？並直接寫出此時△bmn內切圓的半徑。
自貢市蜀光中學2023年高中自主招生考試
數學試題答案
一． babcd cabac
二．1. 2. (2，2)或(3，)或(-1，)． 4. 5.①②④ 6. 5
三．1．解：鏈結bd，作de⊥bc於點e．（如圖2）- - - - 1分
∵ ab=ad =2 ，∠a=60°，
∴ △abd為等邊三角形，bd =2，∠adb=60°．
2分∵ ad∥bc ，
∴ ∠dbc=603分
在rt△bde中，∠bed=90°，∠dbe=60°，
4分在rt△cde中，∠ced=90°，，
5分2．解：設一次函式解析式為，-------1分
則，得，------2分
令得》0，則oa＝．
令得》0， k<0，則ob＝．-----4分
3．解：設de=x，由△bde～△bca知:，則be3分
又由△cfg～△cab知:,則fc=--------5分
ef=bcbefc=5=5------7分
deef=x(5)=,化簡得---------10分
從而x=2或x11分
所以be=------12分
4．解：（1）證明：鏈結，切⊙於，
2分4分
（2）證明：在⊙中6分
①×②得
8分（3）鏈結，由（1）知∽，而
-------9分
設，pa=3y,fa=4y,pf=5y
10分 為⊙的直徑，為⊙的直徑
當⊙的面積與⊙的面積相等 -------11分
即12分
即14分
5．解：（1）方程有兩個實數根，則，解方程得
2分由題意，得即-------4分
故5分（2）把代入兩等式，化簡得，，
當時，．-----6分
當時，、是方程的兩根，而△＞0，由韋達定理得，
＞0，＞0，則＞0、＞0．------7分
①，時，由於
故△abc為直角三角形，且∠c＝90°，s△abc＝．------9分
②，時，因，故不能構成三角形，不合題意，捨去11分
③，時，因＞，故能構成三角形．
s△abc＝------13分
綜上，△abc的面積為1或．-------14分
6．解：⑴ ∵ ∴對稱軸，-----1分
拋物線是以的直角邊所在直線為對稱軸，由題易得，
又當時，即拋物線過，-----4分
故開口向下。-----5分
⑵ 如圖，，
在在直角中由勾股定理得-----8分
-----10分
⑶ ∵，∴
又在直角中
∴∴，又∵ ∴-----16分
7．解：（1）如圖，
6分（2）p值無變化8分
證明：延長ba交y軸於e點，
在中，所以，≌
所以，oe=on，ae=cn9分
在中 所以，≌
所以，mn==me=am+ae=am+cn10分
所以，p=mn+bn+bm=am+cn+bn+bm=ab+bc=211分
（3）設，
又12分
在中，所以，所以，（捨去）
m的最小值為15分
所以，當時，的面積最小16分
的內切圓半徑為18分
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