2008級微積分iia
一、填空題（本題15分，每小題3分）
1、曲線在點處的切線方程為
2、設，則函式在的全微分
3、在球座標系下的累次積分為
4、,改變積分次序
5、一階微分方程的通解為
二、選擇題（本題15分，每小題3分）
1、下列極限存在的是
（a） （b） （c） （d）
2、已知，則
（ab）
（cd）
3、設，則當函式在其駐點處符合（ ）時，必是的極大值。
（a） （b）
（c） （d）
4、設均勻薄片所佔區域為：，則其重心座標為
（a） （b） （c） （d）
5、下列微分方程中，屬於全微分方程的是（ ）。
（ab）
（c） （d）
三、（10分）證明函式在原點處可微，但在原點處間斷。
四、（8分）設，其中有連續的一階偏導數，求和。
五、（8分）求錐面被柱面所截下部分的面積。
六、（每小題8分，共16分）求下列積分題：
（1）。
（2），其中由曲面圍成。
七、（8分）求平面和柱面的交線上與平面的最短距離。
八、（8分）設為連續函式，且滿足，試求。
九、（12分）已知二階微分方程（m為實常數）。
（1）討論m的取值，並求出二階常係數齊次線性微分方程的通解；
（2）求時，二階常係數非齊次線性微分方程的通解。
2010級微積分iia
一、填空題（本題15分，每小題3分）
12、若函式，則它在點處沿從點到點的方向導數是
3、由方程所確定的隱函式在點處的全微分
4、設為面上的區域，則 .
5、方程的通解為
二、選擇題（本題15分，每小題3分）
1、設在平面有界區域上具有二階連續偏導數，且滿足及，則
（a）最大值點和最小值點必定都在的內部
（b）最大值點和最小值點必定都在的邊界上
（c）最大值點在的內部，最小值點在的邊界上
（d）最小值點在的內部，最大值點在的邊界上
2、若交換二重積分的積分次序，則
（ab）
（c）（d）
3、設是由及所圍成，則（ ）。
（a） （b） （c） （d）
4、微分方程的通解是
（a） （b）
（c） （d）
5、的特解可設為（ ）。
（ab）
（c） （d）
三、（10分）求由曲線繞軸旋轉一周所得到的旋轉曲面在點處的切平面方程與法線方程。
四、（10分）投入原料各單位，生產數量。原料的單價分別為10元，20元，欲用3000元購買原料，問兩種原料各購買多少單位時，使生產數量最大。
五、（10分）在均勻半圓形薄片的直徑上，要接上乙個一邊與直徑等長的矩形薄片，為了使整個均勻薄片的重心恰好在圓心上，問接上去的均勻矩形薄片的一邊長度為多少？
六、（12分）把化為柱面座標系及球面座標系下的三次積分，並任選一種方法求出該積分的值。
七、（16分，每小題8分）求解下列微分方程：
1、試求微分方程的通解。
2、設二階常係數線性微分方程的乙個特解為，試確定，並求該方程的通解。
八、（12分）設的所有二階偏導數連續，而，證明：1、； 2、。
2019浙江省大學生高等數學 微積分 競賽試題評析
2010浙江省大學生高等數學 微積分 競賽試題評析 數學類 一 計算題 1 解 原極限 2 解 令,原積分3 解 落在橢圓內的充分必要條件即為到的距離。而要求最小值,只需討論,可得 充分必要條件為 此時橢圓面積 記即易得為 橢圓的最小面積為。4 解 原積分 5 解 而二 解 即單調增且 設則即有界。...
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