數域上的整體類域論
一概述本文主要闡述magma程式中關於代數數論中經典理論類域論的方面的程式. 主要內容來自雪梨大學claus fieker教授寫的applications of the class field theory of
global fields.
本文假設讀者已經熟悉magma的基本應用.
整體類域論提供了代數數域的有限abelian擴張的一種描述. 我們用magma將這個過程完整描述出來, 給學習和使用類域論的讀者提供參考.
二建立數域
乙個數域是有理數域q的乙個有限擴張.
讓我們首先來建立乙個代數數域. 乙個代數數域是乙個有理數域的有限擴張, 因此我們首先定義有理數域.
>q:=rational();
其次, 乙個代數數域需要有乙個多項式不可約來定義, 因此我們先定義多項式環.
>qt:=polynomialring(q);
現在我們來定義代數數域q(25^(1/3)).
>k:=numberfield(t^3-25);
這樣k就是我們要建立的代數數域了.
我們來試驗一下.
>a^3;
25>a^23-25*a;
6103515625*a^2-25*a
我們會發現a=25^(1/3).
接下來的問題自然是如何求k的整舒環和整基了. magma提供了現成的程式.
>z_k:=ringofintegers(k);
>basis(z_k,k);[1,
a,1/5*a^2
]這樣我們得到了o_k的基. 在magma中o_k中的數是在這個基底下的乙個向量, 而k中的元素是關於a的乙個多項式. 這兩者表示的方式不一樣. 下面是乙個例子.
> z_k![1,2,3];
[1, 2, 3]
> $1/1;
z_k.1 + 2/1*z_k.2 + 3/1*z_k.3
> k!$1;
1/5*(3*a^2 + 10*a + 5)
> z_k!$1;
[1, 2, 3]
上面的例子中$1表示上乙個運算結果, 相當於mathematica中的%. k!$1 表示把$1轉換成k中的元素. 怎麼樣, 大家能夠讀懂這段**吧.
我們也可以試驗一下整環中的運算.
>m:=z_k![1,2,3];
>n:=z_k![2,3,4];
>[m+n, m*n];
[[3,5,7],[87,19,40]]
大家可以自行驗證這個計算結果的正確性.
現在我們來考慮k上的代數擴張. 比如我們來對k坐分圓擴張.
>e:=numberfield(polynomial(k,cyclotomicpolynomial(3)));
>e;e:maximal;e|
|k||
qe : $.1^2 + $.1 + 1
4k : t^3 - 25e : $.1^2 + $.1 + 1
這裡輸出的$.1表示e在k上的生成元。
下面我們來舉乙個相對範數和絕對範數的求法的乙個例子。
>norm(z+a);
a^2-a+1
> norm(z+a, q);
676> norm(z+a, e);
z+a由於此時z_k不是主理想整環， 所以我們z_e並不是乙個自由z_k模。 所以我們類似定義z_e在z_k上面的整基是很困難的。magma的方法主要是返回到q的擴張上看。
> e_q := absolutefield(e);
> e_q:maximal;
5e_q||
qe_q : t^6 + 3*t^5 + 6*t^4 - 43*t^3 - 69*t^2 + 78*t + 676
> z_e_q := maximalorder(e_q);
> z_e ! z_e_q.3;
[[0, 0, 1], [0, 0, 0]]
> e_q ! $1;
1/4680*(-25*e_q.1^5 - 62*e_q.1^4 - 124*e_q.1^3 + 1439*e_q.1^2
+ 1426*e_q.1 - 1612)
這樣我們就能夠表達z_e中的元素了。
二類群下面我們來求k的理想類群。演算法詳見claus fieker教授的教材。我們這裡只寫**。
> k := numberfield(x^2-10);
> z_k := ringofintegers(k);
> cl, mcl := classgroup(z_k);
> cl;
abelian group isomorphic to z/2
defined on 1 generator
relations:
2*cl.1 = 0
> mcl;
我們可以看到z_k的理想類群是乙個秩為2的有限abel群。理想類群返回兩個元素， 乙個是乙個群， 另外乙個是乙個從這個有限群到k的理想類的乙個對映。比方說我們來看看這個群的生成元cl.
1對應的像。
> i := mcl(cl.1); i;
8ideal of z_k
two element generators:
[2, 0]
[2, 1]
> i * k.1;
ideal of z_k
two element generators:
[0, 2]
[10, 2]
我們可以看到這個想是乙個理想類， 其中的乙個代表元是由[0,2]和[10,2]兩個元素生成的理想。
興致之所致， 我們反過來求一下理想i所對應的原像，以及檢驗我們的結果的正確性。
> i @@ mcl;
cl.1
> (i^2) @@ mcl;
0> isprincipal(mcl(cl.1));
false
> isprincipal(mcl(cl.1)^2);
true
三 ray class groups（不知道該如何翻譯， 也許還沒有官方的正統翻譯， 讓我們保持原汁原味）
現在我們來定義乙個對應於乙個理想m的ray class groups.
我們所需要的資料有兩個， m=(m0,m1). 其中m0表示乙個理想。 m1 表示有限個k到c的實嵌入。
我們說定義
假設k_m:=, 並且用i^m表示和m互素的理想集合， 定義cl_m=i^m/k_m. 我們來計算cl_m.
> m_0 := 7*5*9*z_k;
> m_inf := [2];
> r, mr := rayclassgroup(m_0, m_inf);
> r;
abelian group isomorphic to z/2 + z/6 + z/24
defined on 3 generators
relations:
6*r.1 = 0
24*r.2 = 0
2*r.3 = 0
> mr;
mapping from: grpab: r to set of ideals of z_k
**中r就是同構與cl_m的乙個群， mr是相應的對映。
四類域論
現在假設我們得到了cl_m， 我們需要找到它所對應的域擴張。相應的**是
> k := numberfield(x^2-10);
> z_k := ringofintegers(k);
> r, mr := rayclassgroup(5*z_k, [1,2]);
> a := abelianextension(mr);
> a;
fldab, defined by (<[5, 0]>, [1 2])
of structure: z/4
為了驗證我們得到的a確實是我們所需要的， 我們下面來進行驗證。 首先把a寫成乙個具體的代數數域。
> k := numberfield(a);
> k;
number field with defining polynomial $.1^4 + (36*k.1 + 280)
*$.1^2 + 4200*k.1 + 13820 over k
> g, _, mg := automorphismgroup(a);
> g;
abelian group isomorphic to z/4
11defined on 1 generator
relations:
4*g.1 = 0
注意到aut（k/k）已經同構於cl_m.. 現在我們來驗證互反律。
考慮13在k中的乙個素理想p，我們現在來求p。
> lp := decomposition(z_k, 13);
> p := lp[1][1];
> norm(p);
13現在我們需要驗證p所對應的p在mr下的像就是p的frobenious對映，**如下：
> z_k := maximalorder(a);
> p := z_k !! p; // to define p z_k
> [ : s in g];
[<0, false>,
,<2*g.1, false>,
<3*g.1, true>
]> s1 := frobeniusautomorphism(a, p);
> s2 := (3*g.1) @ mg;
> s1 eq s2;
> p @@ mr;
3*r.1
事實上我們將r.1對映到g.1將得到乙個同構！這樣我們確實驗證了類域論。
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