一、直線的傾斜角、斜率、方向向量、 法向量
1．已知傾斜角，求斜率：
2．已知斜率，求傾斜角：
3．已知方向向量，求斜率：
4．已知法向量，求方向向量：
5．已知，求直線的斜率：
6．已知直線的方程，（1）求直線的斜率：
（2）求直線的方向向量：； （3）求直線的法向量：
二、由確定一條直線的條件組寫出直線的方程：
1．已知直線上一點及方向向量：
若，直線的點方向式方程為
2．已知直線上一點及法向量：
直線的點法向式方程為
3．已知直線上一點及斜率：
直線的點斜式方程為
4．已知直線上兩點：
（1）若，直線的方程為；若，直線的點斜式方程為
（2）法向量，點法向式方程為
5．已知直線在軸上的截距：（即直線經過兩點）
（1）直線的點斜式方程為
（2）直線的截距式方程為
（3）直線的斜截式方程為
例題：1． 過點且與直線：垂直的直線方程是 。
三、距離公式
1．點到直線：的距離。
2．直線與的距離。
例題例1．原點到直線的距離 。
例2．平行於直線，且與它的距離等於的直線方程是和 。
例3.若直線與直線是同乙個圓的兩條切線，則該圓的面積等於（ d ）
(abcd)
例4.在過點的所有直線中，與原點距離最遠的直線方程是b ）
(a) (b) (c) (d) 。
例5.已知點、到直線的距離都等於，求直線的方程。
解： （1）當時，因為直線的方程為，所以可設直線的方程為。
由或。即直線的方程為，或。
（2）當過線段的中點時，設的方程為，即。
點到的距離，即。
又當軸時，斜率不存在，此時也符合題意。
綜上，所求直線的方程為，或，或，或。
例6.已知直線過點，且被兩平行直線：與：截得的線段長
，求直線的方程。
解：過作於。是與之間的距離，易得。又，。於是與的夾角為。設的方程為，即。，化簡得，解得或。所以求得的直線方程為。
例7.已知直線過點，且與點的距離等於4，求直線的傾斜角。
解：當直線的斜率存在時，設的方程為，即。由題意得：，即。解得。
當直線的斜率不存在時，則直線的方程為，也滿足，此時傾斜角為。
所以所求的直線傾斜角為或。
四、對稱問題
1．點關於點的對稱點是
*2．點關於直線：的對稱點是，則
，。 特別地，點關於直線的對稱點是
點關於直線的對稱點是
3．曲線關於軸對稱的曲線是
曲線關於軸對稱的曲線是
曲線關於原點對稱的曲線是
曲線關於直線對稱的曲線是
例題例1．若曲線的方程是，則曲線關於直線對稱的曲線方程是 （ a ）
例2．設直線。
（1）求點關於直線對稱的點的座標；（2）求直線關於點對稱的直線方程。
解：（1）設點的座標為，據題意，直線垂直於直線，且線段的中點在直線上。
即即，得， 即點的座標為。
如果聰明的你能記得對稱點的座標公式，在解答題中，你可以先設出的座標，寫出兩個條件，直接給出結果；或綜合題中，這一步並不重要，佔比例較小，也可以直接「可以解得點的座標為」
（2）在直線上取點，點關於點的對稱點是，由於所求直線與直線平行，故所求直線方程為。
例3．若光線沿直線射入，遇到直線立即反射，則反射光線所在的直線的方程是______。
例4．已知點,在軸上找一點，使最小，則點座標為 。
例5．已知點在軸上找一點，使最大，則點座標為 ____ 。
*五、曲線的變換
1．曲線向右平移個單位，得到的曲線是
曲線向左平移個單位，得到的曲線是
曲線向上平移個單位，得到的曲線是
曲線向下平移個單位，得到的曲線是
2．檫去曲線在軸左側的部分，並構造關於軸對稱的曲線，得到是
檫去曲線在軸下方的部分，並構造關於軸對稱的曲線，得到是
例題例1．曲線圍成的圖形的面積為 2 。
例2．六、曲線與方程
1． 設曲線與二元方程。若
（1）曲線上的點的座標都滿足方程；
（2）以方程的解為座標的點都在曲線上；
那麼我們稱曲線是方程的曲線；方程是曲線的方程。
例題：例1．若曲線上的點的座標都是方程的解，則下列結論中正確的是（c）
方程的曲線是方程的曲線不是
曲線上的點都在方程的曲線上
以方程的解為座標的點都在曲線上
例2．方程所表示的圖形是 ______兩條互相垂直的直線
例3．方程表示的曲線是c ）
兩條互相平行的直線兩條互相垂直的直線
兩條相交但不垂直的直線乙個點
例4. 若方程的曲線為一條直線，則實數的取值範圍為
例5．已知「曲線上的點的座標都滿足方程」是正確的，則下列命題：
（1） 不是曲線上的點的座標，一定不滿足方程；
（2） 座標滿足方程的點均在曲線上；
（3）曲線是方程的曲線；
（4）方程的曲線不一定是曲線。
其中正確命題的序號是 （4
2．設曲線的方程為。
若以代替，方程不變，則曲線關於軸對稱；
若以代替，方程不變，則曲線關於軸對稱；
若以代替，代替，方程不變，則曲線關於原點對稱；
若以代替，代替，方程不變，則曲線關於直線對稱；
若以代替，代替，方程不變，則曲線關於直線對稱。
例題：例1．若點在曲線上，是原點，則的最小值是 。
例2．已知曲線。下列命題：
（1）曲線關於軸對稱；
（2）曲線關於軸對稱；
（3）曲線關於原點對稱；
（4）曲線關於直線對稱；
（5）曲線關於直線對稱。其中正確命題的序號是 （3
七、求滿足一定條件的動點的軌跡方程
第一步：如圖所示建立直角座標系
第二步：設
第三步：用已知資料、已知數量關係、已知位置關係及來表現給定的條件（乙個等式）；
第四步：將這個等式化簡、整理；
第五步：檢驗滿足這個方程的解是否一定符合條件。
例題例1. 到兩座標軸距離相等的點的軌跡方程是
例2．與兩座標軸都相切的動圓的圓心的軌跡方程是
例3．在第一象限內,到原點距離等於的軌跡方程為_____。
例4．到兩座標軸的距離之積為的點的軌跡方程是a ）
例5．在等腰三角形中，，若點的座標為，點的座標為則點的軌跡方程為
例6．到兩座標軸距離之和為的點的軌跡圍成圖形的面積是c ）
以上都不對
例7．已知點和，動點滿足，則的軌跡方程是 （ b）
例8．已知：在中，，若，求頂點的軌跡。
解：以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸建立直角座標系，
則兩點的座標分別為和。設點，則
，代入得：
(或：如圖所示建立直角座標系)
例9．邊長為的等邊內一點到和的距離之和等於它到第三條邊的距離的兩倍，試求點的軌跡方程。
解：以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸建立直角座標系(或：如圖所示建立直角座標系)，
則兩點的座標分別為、和。設，
直線的方程為，即；
直線的方程為，即；
因為點到和的距離之和等於它到第三條邊的距離的兩倍，即
，因為點與原點在直線
同側，所以
而與原點在直線同側，所以，點在軸上方，，化間得。因為點在內部，直線與直線、直線的交點分別為，所以，所求點的軌跡方程為。
（也可以根據「等邊內一點到三邊距離之和為定值」，得到，即點的軌跡為一條線段。
常用方法：
方法一：直接法
例題例1．到直線和的距離相等的動點的軌跡方程為 。
例2．過點作兩條互相垂直的直線和，它們分別與軸，軸交於兩點，求線段中點的軌跡。
解：設軌跡上任意一點，則。由，得
，化簡得。當不存在，即時, ,此時,經檢驗,點也在直線上,故所求軌跡是直線,,其方程為.
方法二：代入法（也稱座標轉移法）
例題例1．經過點作一直線，與直線相交於點點分為，求點的軌跡方程。
解：設點（第一動點），（已知曲線上的動點，第二動點），
則。根據定比分點座標公式,有; 解得, （即用第一動點的座標來表示已知曲線上的動點），把點的座標代入直線，即.
化簡，得到點的軌跡方程.
方法三：幾何法
例題例1．到和的距離相等的動點的軌跡方程為
例2．點與兩定點的連線所成的角，求動點的軌跡方程。
解：設，由已知點在以為弦的圓上，設圓心為，則，且，所以，，所以點的軌跡方程為
和。方法四： 引數法
例題1．長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，點**段上，且，求軌跡方程。
解：設和且，由於點**段上，且，根據定比分點座標公式，設則，因為，所以點的軌跡方程為.
方法五：定義法
例題例1．動圓過定點，並和圓相內切，則動圓圓心的軌跡方程為___。
例2．已知定圓，及定圓，動圓p與內切與外切, 求動圓圓心p的軌跡方程。
解：設圓p的半徑r, , ,由橢圓定義知p點軌跡是以為焦點長軸長為4的橢圓, 所以其方程為;
八、待定係數法求曲線方程
1．經過點的直線方程：及
或者及2．斜率為的直線方程：
3．方向向量的直線方程：
4．法向量的直線方程：
6．經過直線與交點的直線方程：
7．以為圓心的圓的方程：
例題例1．若圓的一條直徑的兩個端點為則此圓方程是
例2．與軸相切於原點，半徑為2的圓的方程為
8．圓的一般方程：
例題例1．方程表示乙個圓，則的取值範圍是___或 ___。
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