性質;三元法則+不定思想
旨意:複雜問題「三元化」、「關係化」、「運動化」
[哲]1、宇宙構成:「時間、空間、能量」+運動——《三元思想》
2、出拳一定要快、要準、要狠。——李小龍
3、誰把握金融,誰把握世界!——《三元思想》
4、運用電腦的過程就是:程式+enter
5、慾望:金錢、感情、信仰
6、矛盾的雙方是可以互相轉換的——《馬克思主義哲學理論》
7、量變產生質變——《高三政治》
例一:二元多次函式
a.正態分佈(正態總體概率密度函式):,.
:標準差(波動情況集中程度)
:方差其中:平均數(即期望)
:2.718281 (自然對數)
:3.14
由於上式由引數唯一確定,因此正態總體常記作,(即上式為乙個「二元二次函式」)。其影象為「二元二次函式影象」:
其疑點在於「」到底表現在哪兒?圖為何意?
其實我們由「二元二次函式」便可得知它是乙個三維空間圖,而上圖就是三維影象的三個不同截面。即如下三維座標系: (「」的值越小越集中,波動情況越穩定。)
b.例:已知函式
ⅰ若對於任意時恆成立,求實數的取值範圍。
ⅱ如果函式在上最大值為3,最小值為-3,求、的值。
分析:此題表面上看似是「三元(、、)三次函式」,其實是「二元三次函式」,不過解此題時須要「固定一元,而另一元是變數,來求函式;然後在固定另一元,使前一元為變數,來求函式→即
對一元進行分類,對另一元進行固定(影象由引數唯一確定)——《不定思想》」
若設為上的乙個定值,則方程為二元三次函式;
若設為上的乙個定值,則方程為一元一次函式(直線)。
解:ⅰ根據步驟簡易程度,我們對進行分類、進行固定
即設,[注:為未知數、為其範圍內的一值,即常數]則的影象為一條直線,若不等式恆成立,
須且只需即圖 (同例一,其實本圖是三維圖,圖中直線乃是不同截面的直線)
即圖為:
即在上恆成立。
設求導按求極值的步驟走:
令則有解即有:
為在上的極大值點,又時,取最小值,為
則為在上的極小值點,又在上又有乙個極值點, 在
即綜上所述,。
處取得最小值為
即的取值範圍為。
ⅱ在上有最值,由題至圖,如下分類有:
根軸法穿線法
時時所以,據題意,將最值代入方程,即代入得
時時悟:設想,現實中任何乙個不規則的物體都可用乙個函式公式表達出來,但要賦予其取值範圍。假如,給予3dmax軟體乙個不規則空間物體的函式表達公式,若不賦予其取值範圍,軟體將無法自描出其影象,因為這意味著物體的影象將是無邊、無限延伸的。
例二:《不定思想》——「導數」的形象理解
問:導數就是斜率,但它在圖中如何表示?如何從圖中看出?
解:導數的原意為「不定導數」。因為它在座標系上僅僅代表的是乙個「比例值」,它有「不定」的性質。
舉例:,的導數(即)是斜率。
a.當時,即求中點處的斜率是多少,直接代入可知,其圖中意義為:
即它的導數(斜率)在座標上表示為乙個「比例值」,而它的位置是「不定的」。只要知道中的長度即可,至於則相對去的,即為預設值1。所以即
b.對於常數的規定,引上述邏輯就好理解了,所以:不定積分在座標上表示就是,(原函式加常數),即為影象在座標上移動的單位數:(常導=位移)
【備註:(不定)導數不定積分;(定)微分定積分。】
例三:「空間向量余弦公式」與「平面向量的基本定理」
ⅰ、等邊三角形與正方形有一公共邊,二面角的余弦值為,、分別是、的中點,則、所成角的余弦值等於_.
釋:本題考查的是「兩個非零向量的夾角公式」→即「空間向量余弦公式」。
經解剖公式我們將形象體會其用途價值:
已知兩空間向量:,則他們(與)的夾角的余弦值:
[求:線與線的夾角]
[求:線與面的夾角]
解:作圖
設,則可分別得出四點座標:
ⅱ、在中,,,若點滿足,則_
解:為求簡便,「平面向量的基本定理」我們就不在此求證了。以下是其兩個要點,請牢記:
①在中,,且,即;
②在中,(),則
根據此兩點便可即快看出題選.
ⅲ、「空間向量余弦公式」和「射影余弦角定理」的等價
例如圖,已知為的二面角,為平面內一點,、,且,點在平面內的射影為,如果,則平面直線與所成的角為_.
解法一:(如圖)連線,由三垂線定理得,
又,則為等腰直角三角形,
. 設直線與所成角為,由射影余弦角定理得:
.解法二:提取直線置空間軸上,如圖:
設,由題意可知座標點:
則 、
由空間向量余弦公式得:
.【注:1、在畫三維圖時,要有遠近實感,中學課本上的畫法是乙個誤區;2、在畫空間軸時注意軸,箭頭方向是正向。】對於四維空間中的時間軸,《不定思想》是最好的解釋,它也是相對而論的,要想形象的理解,建議去使用一下flash動畫軟體。
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