整數按能否被2整除分為兩大類：奇數和偶數，奇數與偶數有下列基本性質：
1．奇數≠偶數
2．兩個整數相加(減)或相乘，結果的奇偶性如下表所示
3．若干個奇數之積是奇數，偶數與任意整數之積是偶數；偶數個奇數的和為偶數，若干個偶數的和為偶數．
4．設m、n是整數，則m土n，的奇偶性相同．
5．設m是整數，則m與，mn的奇偶性相同．
奇偶性是整數的固有屬性，通過分析整數的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析法．
例題 【例1】 三個質數之和為86，那麼這三個質數是
希望盃」邀請賽試題)
思路點撥運用奇數、偶數、質數、合數性質，從分析三個加數的奇偶性人手．
注： 18世紀的哥尼斯堡，有7座橋把這兒的普雷格爾河中兩個小島與河岸聯絡起來，在這迷人的地方，人們議論著乙個有趣的問題．乙個遊人怎樣才能不重複地一次走遍7座橋，而最後又回到出發點．
2023年彼得堡院士尤拉巧妙地解決了這個問題．尤拉把乙個複雜的實際問題化為乙個簡單的幾何圖形，他指出只要我們能從一點出發，不重複地一筆把這樣的圖形畫出來，那麼就可說明遊人能夠不重複地一次走遍這7座橋，這就是著名的「一筆畫」問題的來歷．
利用奇偶分析不難得到一般的結論：凡是能一筆畫成的圖形，它上面除了起點和終點外的每乙個點總是一筆進來，一筆出去．因此，除了起點和終點外的每乙個點都有偶數條線和它相連．
簡單地說，當且僅當圖形中的奇結點(每點出發有奇數字線)的個數不大於2時，這個圖形才能一筆畫．
【例2】 如果a、b、c是三個任意的整數，那麼（ ）．
a．都不是整數 b．至少有兩個整數 c．至少有乙個整數 d．都是整數
2023年ti杯全國初中數學競賽題)
思路點撥舉例驗證或從a、b、c的奇偶性說明．
【例3】 (1)設1，2，3，…，9的任一排列為al，a2，a3…，a9．求證：(all一1)( a2 —2)…(a9—9)是乙個偶數．
(2)在數11，22，33，44，54，…20022002，20032003，這些數的前面任意放置「+」或「一」號，並順次完成所指出的運算，求出代數和，證明：這個代數和必定不等於2003．
思路點撥 (1)轉換角度考察問題，化積的奇偶性為和的奇偶性來研究；(2)由於任意添「十」號或「一」號，形式多樣，因此不可能一一嘗試再作解答，從奇數、偶數的性質人手．
【例4】已知都是+1或一1，並且，求證：n是4的倍數．
思路點撥可以分兩步，先證n是偶數2k，再證明k是偶數，解題的關鍵是從已知等式左邊各項的特點受到啟發，挖掘隱含的乙個等式．
【例5】 遊戲機的「方塊」中共有下面?種圖形．每種「方塊」都由4個l×l的小方格組成．現用這7種圖形拼成乙個7× 4的長方形(可以重複使用某些圖形)．
問：最多可以用這7種圖形中的幾種圖形?
思路點撥為了形象化地說明問題，對7×4的長方形的28個小方格黑白相間染色，除「品字型」必佔3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，其餘6個方格各佔2個黑格2個白格．
注：對同乙個數學物件，從兩個方向考慮(n項和與積)，再將這兩個方面合在一起整體考慮，得出結論，這叫計算兩次原理，通過計算兩次可以建立方程，證明恒等式等．
在一定的規則下，進行某種操作或變換，問是否(或證明)能夠達到乙個預期的目的，這就是所謂操作變換問題，此類問題變化多樣，解法靈活，解題的關鍵是在操作變換中，挖掘不變數，不變性．
一些非常規數字問題需要恰當地數學化，以便計算或推理．引入字母與賦值法是數學化的兩種常用方式方法．
所謂賦值法就是在解題時，將問題中的某些元素用適當的數表示，然後利用這些數值的大小，正負性、奇偶性等進行推理論證的一種解題方法．
【例6】桌上放著七隻杯子；杯口全朝上，每次翻轉四個杯子：問能否經過若干次這樣的翻動，使全部的杯子口都朝下?
思路點撥這不可能．我們將口向上的杯於記為：「0」，口向下的杯子記為「1」．開始時，由於七個杯子全朝上，所以這七個數的和為0，是個偶數．乙個杯子每翻動一次，所記數由0變為1，或由l變為0，改變了奇偶性．每一次翻動四個杯子，因此，七個之和的奇偶性仍與原來相同．所以，不論翻動多少次，七個數之和仍為偶數．而七個杯子全部朝下，和為7，是奇數，因此，不可能．
整數可以分為奇數和偶數兩類．
【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上乙個正號或負號，它們的代數和是奇數還是偶數?
思路點撥兩個整數之和與這兩個整數之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．
因兩個整數的和與差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每個數前面添上正號或負號，其代數和應與1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005= (1+ 2005)×2005=1003 ×2005為奇數；因此，所求代數和為奇數．
注：抓住「a+b與a—b奇偶性相同」，通過特例1十2十3十…十2005得到答案．
【例8】「 元旦聯歡會上，同學們互贈賀卡表示新年的：良好祝願．「無論人數是什麼數，用來交換的賀卡的張數總是偶數．」這句話正確嗎?試證明你的結論．
思路點撥用分類討論的思想方法，從「無論人數是什麼數」入手，考慮人數為奇數或偶數的兩種情況．
這句話是正確的．下面證明之．
若聯歡會上的人數為偶數，設為2m (m為整數)，則每個人贈送給同學們的賀卡張數為奇數，即(2m—1)．那麼，賀卡總張數為2m(2m—1)=4m2-2m，顯然是偶數．
若聯歡會上的人數為奇數，設為2m+1(m為整數，則每個人贈送給同學們的賀卡張數應是2m，為偶數．賀卡總張數為(2m+1)·2m，仍為偶數．
故「用來交換的賀卡張數總是偶數」是對的．
注：按奇數和偶數分類考慮問題是常見的解決此類問題的策略之一．
【例9】桌面上放有1993枚硬幣，第1次翻動1993枚，第2次翻動其中的1992枚，第3次翻動其中的1991枚，…，第1993次翻動其中一枚，試問：能否使桌面上所有的1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上?並說明理由．
思路點撥若要把一枚硬幣原先朝下的一面朝上，應該翻動該硬幣奇數次．因此，要把1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上，應該翻動這1993枚硬幣的總次數為奇數．現在1993次翻動的總次數為1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是個奇數，故猜想可以使桌面上1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上．
理由如下：按規定，1993次翻動的總次數為1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻動的次數為奇數，而且可見每個硬幣平均翻動了997次．而事實上，只要翻動一枚硬幣奇數次，就能使這枚硬幣原先朝下的一面朝上．按如下的方法進行翻動：
第1次翻動全部1993枚，
第2次翻動其中的1992枚，第1993次翻動第2次未翻動的那1枚，
第3次翻動其中的1991枚，第1992次翻動第3次未翻動的2枚，
第997次翻動其中的997枚，第998次翻動第997次未翻動的996枚．
這樣，正好每枚硬幣被翻動了997次，就能使每一枚硬幣原來朝下的一面都朝上．
注：靈活、巧妙地利用奇倆性分析推理，可以解決許多複雜而有趣的問題，並有意想不到的效果．
【例10】在6張紙片的正面分別寫上整數：1、2、3、4、5、6，打亂次序後，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意分別寫上1-6這6個整數，然後，計算每張紙片的正面與反面所寫數字之差的絕對值，得出6個數．請你證明：所得的6個數中至少有兩個是相同的．
思路點撥從反面人手，即設這6個數兩兩都不相等，利用與(=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母進行推理證明．
設6張卡片正面寫的數是，反面寫的數對應為，則這6張卡片正面寫的數與反面寫的數的絕對值分別為，，，，，．設這6個數兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，5這6個值．
於是+++++=0+1+2+3+4+5=15是個奇數．
另一方面，與(=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以+++++與(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一b5)+(a6一b6)=一=(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=o的奇偶性相同，而0是個偶數，15是奇數，兩者矛盾．
所以，，，，，，這6個數中至少有兩個是相同的．
注：反證法是解決奇、偶數問題中常用的方法．
【例11】有乙隻小渡船往返於一條小河的左右兩岸之間，問：
(1)若最初小船是在左岸，往返若干次後，它又回到左岸，那麼這只小船過河的次數是奇數還是偶數?
如果它最後到了右岸，情況又是怎樣呢?
(2)若小船最初在左岸，它過河99次之後，是停在左岸還是右岸?
思路點撥 (1)小船最初在左岸，過一次河就到了右岸，再過一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出發到右岸後再回到左岸，都過了兩次河．因此，小船由左岸開始，往返多次後又回到左岸，則過河的次數必為2的倍數，所以是偶數．同樣的道理，不難得出，若小船最後停在右岸，則過河的次數必為奇數．
(2)通過(1)，我們發現，若小船最初在左岸，過偶數次河後，就回到左岸；過奇數次河後，就停在右岸．現在小船過河99次，是奇數次．因此，最後小船該停在右岸．
注關鍵是對過河次數的理解：乙個單程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就過河一次；往返乙個來回就過河兩次．
【例12】黑板上寫了三個整數，任意擦去其中乙個，把它改寫成另兩個數的和減去1，這樣繼續下去，得到1995、1996、1997，問原來的三個數能否是2、2、2？
初中數學拔尖材料07奇數與偶數性質及其應用
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第八講調查的整理與分析
第四章調查資料的整理與分析 教學目的 通過學習，掌握調查資料的整理技巧，掌握常用的調查資料分析方法。教學重點 難點 資料的整理與分析的方法與技巧 教學課時 4課時 教學方法 教授 舉例 教學內容與步驟 第一節調查資料的整理 一 資料整理的步驟和內容 資料整理 運用科學的方法，對市場調查所得到的原始資...