是不共線的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，則a與b共線的充要條件是實數k等於
a.0b.－1c.－2d.±1
2 設、不共線，點p在ab上，求證： =λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈r.
3.設四邊形abcd中，有=且||=||，則這個四邊形是
a.平行四邊形b.矩形c.等腰梯形d.菱形
4.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e1－9e2.問是否存在這樣的實數λ、μ，使向量d=λa+μb與c共線?
5.如圖所示，d、e是△abc中ab、ac邊的中點，m、n分別是de、bc的中點，已知=a， =b，試用a、b分別表示、和.
6 對任意非零向量a、b，求證：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
7.（2023年全國ⅰ，3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那麼|a+3b|等於
abcd.4
8.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值範圍是
abcd.λ≤
9 判斷下列各命題正確與否：
（1）若a≠0，a·b=a·c，則b=c；（2）若a·b=a·c，則b≠c當且僅當a=0時成立；
（3）（a·b）c=a（b·c）對任意向量a、b、c都成立；（4）對任一向量a，有a2=|a|2.
剖析：（1）（2）可由數量積的定義判斷.（3）通過計算判斷.（4）把a2轉化成a·a=|a|2可判斷.
10.若a=（2，3），b=（－4，7），則a在b方向上的投影為
abcd.
11.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，則a與b的夾角是
a.60b.120c.135d.150°
12.若向量c垂直於向量a和b，d=λa+μb（λ、μ∈r，且λμ≠0），則
不平行於d，也不垂直於d d.以上三種情況均有可能
兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移
●知識梳理
1.設a（x1，y1），b（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.∴||=.
2.線段的定比分點是研究共線的三點p1，p，p2座標間的關係.應注意：
（1）點p是不同於p1，p2的直線p1p2上的點；（2）實數λ是p分有向線段所成的比，即p1→p，p→p2的順序，不能搞錯；（3）定比分點的座標公式（λ≠－1）.
3.點的平移公式描述的是平移前、後點的座標與平移向量座標三者之間的關係，
13.（2023年東北三校聯考題）若將函式y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點的座標由（1，0）變為（2，2），則平移後的圖象的解析式為
14.（2023年湖北八校第二次聯考）將拋物線y2=4x沿向量a平移得到拋物線y2－4y=4x，則向量a為
a.（－1，2b.（1，－2） c.（－4，2d.（4，－2）
15.設a、b、c三點共線，且它們的縱座標分別為2、5、10，則a點分所得的比為
abcd.－
16.若點p分所成的比是λ（λ≠0），則點a分所成的比是
答案1解析：a與b共線存在實數m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共線，∴∴k=±1. ∴d
2剖析：∵點p在ab上，可知與共線，得=t.再用以o為起點的向量表示.
證明：∵p在ab上，∴與共線. ∴=t. ∴－=t（－）.
∴=+t－t=（1－t）+t. 設1－t=λ，t=μ，則=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈r.
評述：本例的重點是考查平面向量的基本定理，及對共線向量的理解及應用.
3解析：∵=，∴dc∥ab，且dc≠ab.又||=||，∴四邊形為等腰梯形. 答案：c
4解：∵d=λ（2e1－3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2，
要使d與c共線，則應有實數k，使d=kc，即（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2=2ke1－9ke2，
由得λ=－2μ. 故存在這樣的實數λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d與c共線.
5解：由三角形中位線定理，知debc. 故=，即=a.
=++=－a+b+a=－a+ba+a－b=a－b.
6證明：分三種情況考慮.
（1）當a、b共線且方向相同時，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.
（2）當a、b共線且方向相反時，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的結論有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.
（3）當a，b不共線時，設=a， =b，作=+=a+b， =－=a－b，利用三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|. 綜上得證.
7解析：|a+3b|====. 答案：c
8解析：∵a與b的夾角為鈍角，∴cos〈a，b〉＜0. ∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞. 答案：a
9解：（1）a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分別為a與b，a與c的夾角）.∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ.
∵cosα與cosβ不一定相等，∴|b|與|c|不一定相等.∴b與c也不一定相等.∴（1）不正確.
（2）若a·b=a·c，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β為a與b，a與c的夾角）.∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.
∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ. 當b≠c時，|b|cosα與|c|cosβ可能相等. ∴（2）不正確.
（3）（a·b）c=（|a||b|cosα）c， a（b·c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分別為a與b，b與c的夾角）.
（a·b）c是與c共線的向量，a（b·c）是與a共線的向量. ∴（3）不正確.（4）正確.
評述：判斷上述問題的關鍵是要掌握向量的數量積的含義，向量的數量積的運算律不同於實數乘法的運算律.
10解析：a在b方向上的投影為===. 答案：c
11解析：由（3a）·（b）=－36得a·b=－60. ∴cos〈a，b〉==－.
又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°. 答案：b
12解析：∵c⊥a，c⊥b，∴c·a=0，c·b=0. ∴c·d=c·（λa+μb）=c·（λa）+c·（μb）=λc·a+μc·b=0. b
13解析：由平移公式得a=（1，2），則平移後的圖象的解析式為y=f（x－1）+2.
14解析：設a=（h，k），由平移公式得代入y2=4x得
（－k）2=4（－h），2－2k=4－4h－k2，即y2－2ky=4x－4h－k2，∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）.思考討論
本題不用平移公式代入配方可以嗎?
提示：由y2－4y=4x，配方得 （y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道為什麼嗎?）
15解析：設a點分所得的比為λ，則由2=，得λ=－. 答案：c
16解析1
答案：－
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