數學(理科,江西專用)
江西金太陽教育研究所數學研究室編
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)
1.複數的實部為( ).
abcd.
2.已知函式的反函式的圖象經過乙個定點,則這個定點的坐
標為( ).
abcd.
3.函式是( ).
a.最小正週期為的偶函式b.最小正週期為的奇函式
c.最小正週期為的偶函式d.最小正週期為的偶函式
4.若, ,與的夾角為,則的值為( ).
abcd.
5.若點在以為頂點的的內部運動(不包含邊界),則的取值範圍( ).
abcd.
6.已知橢圓,順次鏈結橢圓的四個頂點,所得四邊形的內切圓與長軸的兩交點正好是長軸的兩個三等分點,則橢圓的離心率等於( ).
abcd.
7.若實數滿足,則關於的函式的圖象大致是( ).
8.四面體中,已知, , ,面與面所成的二面角為,則四面體的體積為( ).
abcd.
9.已知,滿足, ,則有( ).
ab. cd.
10.從由正數組成的集合中隨機地選出乙個數字,且選取數字的概率為,下面給出四個集合：①；②；③；④.
則能當成集合的個數為( ).
abcd.
11.若方程(為常數,),則下列判斷正確的是( ).
a.當時,沒有實根b.當時,有乙個實根
c.當時,有三個實根d.當時,有兩個實根
12.用,分別表示中的最大與最小者,有下列結論：
①；②；
③若,則；
④若,則.其中正確結論的個數是( ).
abcd.
二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
13.的展開式中所有奇次項係數的和為.
14.函式的單調遞減區間為.
15.在圓內,過點有條弦的長度成等差數列,最短弦長為數列的首項,最長弦為,若公差,則的取值集合為.
16.給出下列命題：①函式與是同乙個函式；②在中,若,則；③；④隨機變數,若,則.其中正確命題的序號為.(填所有正確命題的序號)
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函式的反函式為,.
(ⅰ)若,求的取值集合；
(ⅱ)設函式,當時,求函式的值域.
18.(本小題滿分12分)(ⅰ)在中,若,求角的大小.
(ⅱ)對於(ⅰ)中的角,函式的圖象按向量平移後,對應的函式為偶函式,求取最小值時的向量.
19.(本小題滿分12分)某人居住在城鎮的處,準備開車到單位處上班,若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的,且在同一路段發生堵車事件最多只有一次,發生堵車事件的概率如圖(例如
算作兩個路段：路段發生堵車事件
的概率為,路段發生堵車事件的概率為).
(ⅰ)請你為其選擇一條由到的最短路線(即此人只
選擇從西向東和從南向北的路線),使得途中發生
堵車事件的概率最小；
(ⅱ)若記路線中遇到堵車次數為隨機變數,求的數學期望.
20.(本小題滿分12分)已知三稜錐中,在底面上的射影為的重心,且.
(ⅰ)求與底面所成的角的大小；
(ⅱ)當二面角的大小最小時,求三稜錐的體積.
21.(本小題滿分12分) 已知橢圓經過點,離心率,直線與橢圓交於兩點(均異於點),且有.
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)求證：直線過定點.
22.(本小題滿分14分)已知函式關於點成中心對稱,且.
(ⅰ)求函式的表示式；
(ⅱ)設數列滿足條件：,.
求證：.
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數學(理科,江西專用) 參***
江西金太陽教育研究所數學研究室編
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.)
二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
13141516.②
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函式的反函式為,.
(ⅰ)若,求的取值集合；
(ⅱ)設函式,當時,求函式的值域.
解：(ⅰ),.又,∴.
∴,故集合.
(ⅱ)由(ⅰ),.設,則為增函式.
∵,∴,即.故函式的值域為.
18.(本小題滿分12分)(ⅰ)在中,若,求角的大小.
(ⅱ)對於(ⅰ)中的角,函式的圖象按向量平移後,對應的函式為偶函式,
求取最小值時的向量.
解：(ⅰ)∵,∴.∵為三角形的內角,∴.
(ⅱ).設,則按向量平移後得,.
當此函式為偶函式時,有,∴.又最小,
∴,故.
19.(本小題滿分12分)某人居住在城鎮的處,準備開車到單位處上班,若該地各路段發生堵車事
件都是相互獨立的,且在同一路段發生堵車事件最多只有一次,發生堵車事件的概率如圖(例如
算作兩個路段：路段發生堵車事件
的概率為,路段發生堵車事件的概率為).
(ⅰ)請你為其選擇一條由到的最短路線(即此人只
選擇從西向東和從南向北的路線),使得途中發生
堵車事件的概率最小；
(ⅱ)若記路線中遇到堵車次數為隨機變數,求的數學期望.
解：(ⅰ)由到的最短路線有條,即為：, ,.
；；.故路線發生堵車事件的概率最小.
(ⅱ)路線中遇到堵車次數可取值為.；
；；. 故.
20.(本小題滿分12分)已知三稜錐中,在底面上的射影為
的重心,且.
(ⅰ)求與底面所成的角的大小；
(ⅱ)當二面角的大小最小時,求三稜錐的體積.
解：(ⅰ)如圖,連並延長交於點,依題意知,就是與底
面所成的角,且為的中點.∴,.
在中, ,∴,故與底面所成的角.
(ⅱ)過點作於,連,則,∴為二面角的平面角.
在中,斜邊上的高為,∴.
在中,.∴二面角
的最小值為,當且僅當.∴.
21.(本小題滿分12分) 已知橢圓經過點,離心率,直線與
橢圓交於兩點(均異於點),且有.
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)求證：直線過定點.
(ⅰ)解：易知故方程為.
(ⅱ)證明：設：與橢圓的方程聯立,消去得,.
設,則.
,∴.若,則：,
∴直線過定點.若,則：,∴直線過定點,
即為點(捨去).若斜率不存在,易知,符合題意. 綜上,直線過定點.
22.(本小題滿分14分)已知函式關於點成中心對稱,且.
(ⅰ)求函式的表示式；
(ⅱ)設數列滿足條件：,.
求證：.
(ⅰ)解：由題意, ,即,∴
對一切實數恆成立.得,又由得,
.故函式的表示式為.
(ⅱ)證明：,∴.令,
則, , ,∴.故
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