2023年高考理綜全國卷第26題的三種解法

周志文題目（2023年高考理綜全國卷ⅰ第26題）：如圖1所示，在x軸下方有勻強磁場，磁感應強度大小為b，方向垂直於x y平面向外。p是y軸上距原點為h的一點，n0為x軸上距原點為a的一點。

a是一塊平行於x軸的擋板，與x軸的距離為，a的中點在y軸上，長度略小於。帶電粒子與擋板碰撞前後，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向、大小不變。質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從p點瞄準n0點入射，最後又通過p點。

不計重力。求粒子入射速度的所有可能值。

解法一（常規方法）：設粒子的入射速度為v，第一次射入磁場與x軸的交點為n0，射出磁場與x軸的交點為n0ˊ，第一次與板碰撞後再次進入磁場與x軸的交點點為n1，粒子在磁場中運動的半徑為r，pn0與x軸之間的夾角為θ，如圖2所示。

由洛侖茲力提供粒子做圓周運動的向心力有 qvb=mv2/r，解得r=mv/qb。

由於粒子速率v不變，故每次進入磁場與射出磁場時與x軸的交點間的距離保持不變，設距離為d0， n0ˊn0=d0=2rsinθ。

設粒子射出磁場與下一次進入磁場與x軸的交點間的距離為d1，由知n0ˊ、n1兩點間的距離始終不變，且為n0ˊn1=d1=a 。

設粒子最終離開磁場時，與擋板相碰n(n=0、1、2、3……)次，若粒子能回到p點，由對稱性可知，出射點的座標一定為-a，故有(n+1) d0-n d1=2a，解得。

若要使粒子與擋板發生碰撞，必有n1n0=d0- d1>a/4，解得n<3 。

聯立以上各式得，式中。

當n=0時，

當n=1時，

當n=2時，

解法二（歸納法）：

粒子在磁場中做勻速圓周運動，粒子在磁場中偏轉可能和擋板碰撞，也可能不碰撞，碰撞次數未知，但是要使粒子出磁場後能回到p點，根據對稱性可知，粒子與x軸交點座標必為-a。

1、當粒子不與擋板碰撞直接回p點，運動軌跡如圖3所示，則由幾何關係有2rsinθ=2a，解得。

2、當粒子與擋板碰撞一次回到p點，運動軌跡如圖4所示，由於粒子速率v不變，故每次進入磁場與射出磁場兩點間的距離不變，又由幾何知識可知粒子每次射出磁場與下一次進入磁場兩點間的距離也不變，且恒為a。根據幾何關係可知，n1n0= n1ˊn0ˊ=a/2，n1n0ˊ=a，故2rsinθ=3a/2，解得。

3、當粒子與擋板碰撞二次回到p點，運動軌跡如圖5所示，根據幾何關係可知， n0ˊn1= n1ˊn2=a，n2ˊn1ˊ= n1ˊn0ˊ= n2n1= n1n0=a/3，故2rsinθ=4a/3, 解得。

4、當粒子與擋板碰撞三次回到p點，運動軌跡如圖6所示，根據幾何關係可知，n2ˊn3= n1ˊn2= n0ˊn1=a，n3ˊn2ˊ= n2ˊn1ˊ= n1ˊn0ˊ= n3n1=n2n1= n1n0=a/4，故2rsinθ=5a/4

解得。如此類推，當粒子與擋板碰撞n次回到p點，。又由r=mv/qb，解得：

當n=0時，

當n=1時，

當n=2時，

……由於檔板的長度略小於，因此要使粒子能與擋板碰撞，必須有n1n0>a/4，由以上分析知粒子只能與擋板碰撞兩次，即n≤2。

解法三（極限法）：

當粒子的速度最大時，它在磁場中運動時的圓軌跡的半徑最大，但要回到p點，根據對稱性，粒子經磁場偏轉後與x軸交點的座標為-a，此時粒子不與擋板碰撞（參考圖3），由幾何關係有2rsinθ=2a，又由r=mv/qb，解得。

當粒子的速度最小時，它在磁場中運動時的圓軌跡的半徑最小，與擋板碰撞次數最多（參考圖6），雖然次數未知，但要與擋板碰撞，由以上分析必須有n1n0>a/4，因此它與擋板最多只能碰撞兩次，可求得，。

2023年高考理綜 全國卷 第26題的三種解法