數學試題
一．選擇題（共12小題）
1．已知集合a=，b=，則a∩b=（ ）
a．[﹣1，2] b．[0，1] c． d．
2．設全集u=r，a=，集合b=，則集合（ua）∩b=（ ）
a．[﹣1，2] b．（0，2） c．[﹣1，+∞） d．[﹣1，0）
3．函式的定義域是（ ）
a．（﹣∞，2） b．（2，+∞） c．（2，3）∪（3，+∞） d．（3，4）∪（4，+∞）
4．已知函式f（x）=x2﹣2ax+6在區間（﹣∞，3）是減函式，則（ ）
a．a≥3 b．a＞0 c．a≤3 d．a＜3
5．函式y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域為（ ）
a．[0，3] b．[1，3] c．[﹣1，0] d．[﹣1，3]
6．下列函式中與y=x表示同乙個函式的是（ ）
a． b． c． d．
7．設函式，則=（ ）
a．﹣1 b．5 c．6 d．11
8．奇函式f（x）在區間[4，8]上是減函式，且最小值為﹣5，則f（x）在區間[﹣8，﹣4]上是（ ）
a．增函式，且最小值為5 b．增函式，且最大值為5
c．減函式，且最大值為5 d．減函式，且最小值為5
9．函式f（x）=ex+2x﹣2的零點所在的區間為（ ）
a．（﹣2，﹣1） b．（﹣1，0） c． d．
10．設實數a，b，c滿足a=2，b=a，c=lna，則a，b，c，的大小關係為（ ）
a．c＜a＜b b．c＜b＜a c．a＜c＜b d．b＜c＜a
11．若函式f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函式，則y=f（x）的單調遞減區間是（ ）
a．（﹣∞，1] b．[﹣1，+∞） c．（﹣∞，0] d．[0，+∞）
12．函式f（x）=log0.6（6x﹣x2）的單調遞增區間為（ ）
a．（0，3） b．（3，+∞） c．（3，6） d．（6，+∞）
二．填空題（共4小題）
13．已知冪函式f（x）=xα的圖象過點，那麼α= ．
14．集合a=子集的個數是 ．
15．若函式則滿足f（a）=2的實數a的值為 ．
16．寫出函式f（x）=﹣x2+2|x|的單調遞增區間 ．
三．解答題（共6小題）
17．已知集合a=，b=，若ba，求實數a的取值範圍．
18．已知函式f（x）=x2﹣2x﹣3．
（1）畫出函式y=f（x）的圖象；
（2）寫出函式y=f（x）的單調區間（不必證明）；
（3）當x∈[﹣1，2]時，求函式y=f（x）的最大值和最小值．
19．、計算下列各式的值：
（1）4log23﹣log2﹣+log9；
（2）﹣+810.75+﹣3﹣1
20．（1）已知lg2=a，lg3=b，試用a，b表示lg12的值．
（2）計算：．
21．已知函式f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象經過點（2，4）．
（1）求a的值；
（2）若a2x+1＜a3x﹣1，求x的取值範圍．
22．某純淨水製造廠在淨化的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質20%，要使用水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數為多少？
（參考資料lg2=0.3010，lg3=0.4771）
2018-2019學年第一學期期中考試
參***與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．已知集合a=，b=，則a∩b=（ ）
a．[﹣1，2] b．[0，1] c． d．
【解答】解：根據題意，集合a=，b=，
則a∩b=
故選：c．
2．設全集u=r，a=，集合b=，則集合（ua）∩b=（ ）
a．[﹣1，2] b．（0，2） c．[﹣1，+∞） d．[﹣1，0）
【解答】解：a==，
b==，
所以ua=，
（ua）∩b=，
故選：d．
3．函式的定義域是（ ）
a．（﹣∞，2） b．（2，+∞） c．（2，3）∪（3，+∞） d．（3，4）∪（4，+∞）
【解答】解：要使原函式有意義，則，即x＞3且x≠4．
∴函式的定義域是（3，4）∪（4，+∞）．
故選：d．
4．已知函式f（x）=x2﹣2ax+6在區間（﹣∞，3）是減函式，則（ ）
a．a≥3 b．a＞0 c．a≤3 d．a＜3
【解答】解：函式f（x）=x2﹣2ax+6的開口向上，對稱軸為x=a，
函式f（x）=x2﹣2ax+6在區間（﹣∞，3）是減函式，
∴a≥3．
故選：a．
5．函式y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域為（ ）
a．[0，3] b．[1，3] c．[﹣1，0] d．[﹣1，3]
【解答】解：∵函式y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，3]，
∴當x=1時，函式y取得最小值為﹣1，
當x=3時，函式取得最大值為 3，
故函式的值域為[﹣1，3]，
故選：d．
6．下列函式中與y=x表示同乙個函式的是（ ）
a． b． c． d．
【解答】解：對a，y==x，定義域為x∈r，與已知函式定義域，對應法則相同，故a正確，
對b，函式y=的定義域為x＞0，與函式的定義域不同，∴b錯誤；
對c，y==|x|，與函式對應法則不同，∴c錯誤；
對d，函式y=（）2，的定義域為x＞0，與函式的定義域不同，∴d錯誤．
故選：a．
7．設函式，則=（ ）
a．﹣1 b．5 c．6 d．11
【解答】解：∵函式，
∴=+f（﹣1）
=+2=3+2
=5．故選：b．
8．奇函式f（x）在區間[4，8]上是減函式，且最小值為﹣5，則f（x）在區間[﹣8，﹣4]上是（ ）
a．增函式，且最小值為5 b．增函式，且最大值為5
c．減函式，且最大值為5 d．減函式，且最小值為5
【解答】解：根據題意，奇函式f（x）在區間[4，8]上是減函式，且最小值為﹣5，
則在區間[4，8]上，有f（8）=﹣5，且f（x）≥f（8）=﹣5；
又有函式f（x）為奇函式，則f（x）在區間[﹣8，﹣4]上是減函式，
且在區間[﹣8，﹣4]上，有f（﹣8）=5，且f（x）≤f（﹣8）=5；
f（x）在區間[﹣8，﹣4]上是減函式，且其最大值為5；
故選：c．
9．函式f（x）=ex+2x﹣2的零點所在的區間為（ ）
a．（﹣2，﹣1） b．（﹣1，0） c． d．
【解答】解：由函式f（x）=ex+2x﹣2 在r上是增函式，f（0）=1﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，
且f（0）f（）＜0，可得函式在區間（0，）上有唯一零點．
故選：c．
10．設實數a，b，c滿足a=2，b=a，c=lna，則a，b，c，的大小關係為（ ）
a．c＜a＜b b．c＜b＜a c．a＜c＜b d．b＜c＜a
【解答】解：∵a=2==，
b=a=（==＞1，
c=lna=ln＜ln1=0，
∴a，b，c，的大小關係為c＜a＜b．
故選：a．
11．若函式f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函式，則y=f（x）的單調遞減區間是（ ）
a．（﹣∞，1] b．[﹣1，+∞） c．（﹣∞，0] d．[0，+∞）
【解答】解：函式f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函式，
則對稱軸為y軸，即有m=0，
f（x）=﹣x2+3，函式的對稱軸為x=0，開口向下，y=f（x）的單調遞減區間是：[0，+∞）．
故選：d．
12．函式f（x）=log0.6（6x﹣x2）的單調遞增區間為（ ）
a．（0，3） b．（3，+∞） c．（3，6） d．（6，+∞）
【解答】解：函式f（x）=log0.6（6x﹣x2）的定義域為（0，6）
令t=6x﹣x2，則y=log0.6t
∵y=log0.6t為減函式
t=6x﹣x2的單調遞增區間是（0，3），單調遞減區間是[3，6）
故函式f（x）=log0.6（6x﹣x2）的單調遞增區間是（3，6）
故選：c．
二．填空題（共4小題）
13．已知冪函式f（x）=xα的圖象過點，那麼α= ﹣ ．
【解答】解：∵冪函式f（x）=xα的圖象過點（2，），
∴2α=，
解得α=﹣；
∴冪函式f（x）的解析式是y=x﹣．
故答案為：．
14．集合a=子集的個數是 8 ．
【解答】解：集合a=子集的個數是：23=8．
故答案為：8．
15．若函式則滿足f（a）=2的實數a的值為 ﹣1 ．
【解答】解：∵函式，滿足f（a）=2，
∴當x＞0時，f（a）=1，不成立；
當x≤0時，f（a）=（）a=2，解得a=﹣1．
∴滿足f（a）=2的實數a的值為﹣1．
故答案為：﹣1．
16．寫出函式f（x）=﹣x2+2|x|的單調遞增區間 （﹣∞，﹣1）和（0，1） ．
【解答】解：由題意，函式，
作出函式f（x）的圖象如圖所示：
由圖象知，函式f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
故答案為：（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
三．解答題（共6小題）
17．已知集合a=，b=，若ba，求實數a的取值範圍．
【解答】解：∵集合a=，b=，ba，
∴當b=時，2a＞a+3，解得a＞3，成立；
當b≠時，a+3＜﹣1或2a＞4，且2a≤a+3，
解得a＜﹣4或2＜a≤3．
∴實數a的取值範圍是．
18．已知函式f（x）=x2﹣2x﹣3．
（1）畫出函式y=f（x）的圖象；
（2）寫出函式y=f（x）的單調區間（不必證明）；
（3）當x∈[﹣1，2]時，求函式y=f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．如圖所示
（2）函式y=f（x）的單調增區間是（1，+∞）；
函式y=f（x）的單調減區間是（﹣∞，1）；
（3）當x∈[﹣1，2]時，由圖可知，f（x）的最大值是f（﹣1）=0；f（x）的最小值是f（1）=﹣4．
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