圖中，通電導線置於靜止的磁場之中，導線通有電流i，長為dl的導線元，所受的安培力為idl×b．
從微觀的角度看，導線中的自由電子以速度v向右運動，在洛侖茲力f=-ev×b的作用下，以圓周運動的方式向導線下方側向偏移，使導線下側出現負電荷的積累；在導線中產生側向的霍耳電場，霍耳電場對自由電子有作用力，阻礙自由電子作側向運動．經過一段時間後，自由電子受到的洛侖茲力與霍耳電場力n平衡，自由電子只沿導線方向作定向運動，此時，-ee+（-ev×b）=0，霍耳電場的場強
導線內有帶負電的自由電子和帶正電的晶格，均勻導線內部的電荷體密度為零，自由電子所帶電量與晶格骨架所帶電量等量異號，若單位體積內自由電子的個數為n，導線的橫截面積為s，則在導線元dl中，自由電子電量為- ens dl，晶格骨架所帶的電量為
在討論安培力時，可以認為品格均勻分布，排列有序．霍耳電場在導線元dl內也是均勻的，在導線元dl通有電流i時，晶格骨架所受的力為
將(3.1 3.5)、(3.1 3.6)兩式代入，有
考慮到自由電子的定向運動與電流元的關係
可將(3.1 3.7)式改寫為df= idl×b，即為(3.1 3.3)式．
如果通電導線在靜磁場運動，運動速度為u（圖3. 13 -3）．在導線中的自由電子，相對於參考係的速度為u+v，受洛侖茲力-e (u+ v)×b，同樣令在導線中產生霍耳電場．當霍耳電場的場強為e= -(u+v)×b時，自由電子沒有側向偏移，仍沿導線方向作定向運動，
通電導線運動時，晶格骨架隨之運動，也受到洛侖茲力，晶格骨架受到的力為
通過上面的論述可以看出：無論磁場中的通電導線是否運動，導線中作定向運動的自由電子均在洛侖茲力的作用下，使導線表面的電荷分布發生變化，在導線內產生霍耳電場，平衡時，自由電子在側向受到的合力為零，仍沿導線方向作定向運動，沒有偏向偏移，不會在側向與晶格碰撞產生安培力．帶正電的晶格所受合力不為零，導線的晶格骨架所受到各力的合力即為安培力．
5.2洛侖茲力與安培力的關係
趙凱華比較一下洛侖茲力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。這裡的qv與電流元idl相當。
這並不是偶然的，因為運動電荷就是乙個瞬時的電流元。載流導線中包含了大量自由電子，下面我們來證明，導線受的安培力就是作用在各自由電子上洛侖茲力的巨集觀表現。
如圖4-50所示，考慮一段長度為△l的金屬導線，它放置在垂直紙面向內的磁場中（在圖中用「×』』表示磁感應線方向）。設導線中通有電流i，其方向向上。
從微觀的角度看，電流是由導體中的自由電子向下作定向運動形成的。設自由電子的定向運動速度為u，導體單位體積內的自由電子數（叫做自由電子數密度）為n，每個電子所帶的電量為-e(e =1.60 ×10-19庫侖)。
按照定義，電流強度是單位時間內通過導線截面的電量。現在我們看看，在時間間隔△t內通過導線某一截面b的電量有多少。因為在時間△t內每個電子由於定向運動而向下移動了距離u△t.
我們可以在截面s之上相距u△t的地方取另一截面s』.在這兩個截面之間是一段體積△v=su△t的柱體（這裡心又代表截面的面積）.不難看出，凡是處在這個柱體內的電子，在時間間隔△t後都將通過截面s;凡是位於這個柱體之外的電子，在時間間隔△t內都不會通過s.
所以在時間間隔△t內通過s的電子數等於這個柱體內的全部電子數，它應是
n△v=nsu△t
而在時間間隔△t內通過s的電量△q應等於上述這個數目再乘以每個電子的電量e（這裡只考慮數值，暫不管它的正負），即
子是電流強度
由於這裡電子的定向速度u與磁感應強度b垂直，sir 0=1，每個電子由於定向運動受到的洛侖茲力為
雖然這個力作用在金屬內的自由電子上，但是自由電子總是與金屬的晶體點陣不斷碰撞的，自由電子獲得的動量，最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。巨集觀上看起來將是金屬導線本身受到這個力。整個長度為△l的這段導線的體積為s△l，共中包含自由電子的總數為ns△l，每個電子受力f=eub，所以這段導線最終受到的總力為
根據式(4.43)，上面括弧中的量剛好是巨集觀的電流強度i，故最後得到力的大小為
這正好與安培力的公式符合。請讀者自己驗證一下，力的方向也是符合的。
應當指出，導體內的自由電子除定向運動之外，還有無規的熱運動。由於熱運動速度v朝各方向的機率相等，在任何乙個巨集觀體積內平均說來，各自由電子熱運動速度的向量和∑v為0.而洛侖茲力與v和b都垂直，由熱運動引起的洛侖茲力朝各方向的機率也是相等的。
傳遞給晶格骨架後迭加起來，其巨集觀效果也等於0.即對於巨集觀的安培力f來說，電子的熱運動沒有貢獻，所以在上述初步的討論中我們可以不考慮它。
梁燦斌328
電流是由電荷的定向運動產生的，因此磁場中的載流導體內的每一定向運動的電荷，都要受到洛倫茲力．由於這些電荷（例如金屬導體中的自由電子）受到導體的約束，而將這個力傳遞給導體，表現為載流導體受到乙個磁場力，通常稱為安培力，下面我們從運動電荷所受的洛倫茲力匯出安培力公式．
圖5-45表示一固定不動的電流元，其電流強度為i，橫截面為ds，長為dl，設在電流元範圍內有相同的磁感應強度b，則金屬載流導體內每一定向運動的電子所受到的洛倫茲力為
v為電子定向漂移速度，與電流密度向量j反向（j=-nev，n為導體單位體積的自由電子數），電流元內作定向運動的自由電子數n=-ndsdl，因而電流元內作定向運動的電子所受的合力為
在電流元的條件下，我們用dl來表示其中電流密度的方向，並注意到電流強度i=jds，於是上式表示為：
式(5.57)為電流元idl內定向運動的電子所受到的合磁場力，如前所述，這個力被傳遞給載流導體，表現為電流元這個載流導體所受到的磁場力．通常稱式(5.517)為安培力公式．
式(5.57)由式(5.4)推導而得．但在歷史上式(5.57)首先是由實驗得出的，因此不少作者將式(5.57)做為基本實驗定律.
由式(5-57)原則上可以求得任意形狀的電流在磁場中所受的合力，即求積分
l為在磁場中的導線長度．
如果有興趣的話，我們來**一下金屬載流導體（例如金、銅、鋁、銀、鎳等）中，定向運動的電子所受到的洛倫茲力是怎樣成為載流導體的安培力的．
現設有如講述「霍爾效應』』時的圖5-44 b所示的載流導體，以及如圖所示的電流i，所加的外磁場b，因為載流導體中每乙個定向運動的電子，都要受到乙個洛倫茲力fl
顯然，fl沿+z方向，這導至導體的a側出現負電荷，而在a』側出現正電荷的堆積，結果將在載流導體上下兩側產生乙個uaa，<0的電位差，以及乙個沿+z的橫向電場et．最後，當et=vb之後，導體中定向運動的電子所受到的橫向電場力與磁場力（洛倫茲力）平衡，這時，載流導體中作定向運動而形成電流的電子的運動狀況，與外磁場b不存在時相同（沿-z方向運動）．與外磁場b不存在時的區別，在於載流導體內部出現了橫向電場et．
我們來分析一下受力關係．載流導體中定向運動的電子在z軸方向受到兩個力的作用，一為洛倫茲力，，沿+z方向；一為穩恆電場et所給予的電場力fl=-eet，沿-z方向。兩者等值反向，使電子不出現z軸方向的位移．我們知道穩恆電場力遵從牛頓第三定律，因此，該電子將給a，a』兩側的負、正電荷以乙個指向+z的反作用力．顯然這個力的數值和方向正好等於外磁場給予運動電子的洛倫茲力，也就是說，外磁場作用在運動電上的洛倫茲力，通過橫向電場的作用，表現為外磁場給予載流導體的安培力．
以上只討論了磁場中靜止的載流導線所受到的安培力．如果載流導體在磁場中運動，問題就會複雜些，一方面，只要導線運動方向不與安培力方向垂直，安培力就要在導線運動時做功，另一方面，安培力是洛倫茲力的巨集觀表現，而前面講過洛倫茲力是永不做功的．這似乎是乙個矛盾．這個問題將在第六章介紹「動生電動勢概念時得到乙個滿意的回答，我們將看到：當載流導體運動時，安培力只是洛倫茲力的乙個分量（而不是全部）的巨集觀表現．
洛倫茲力的應用
補充題 洛倫磁力的實際應用 一 速度選擇器 1 如圖所示，從s處發出的電子經加速電壓u加速後垂直進入相互垂直的勻強電場和勻強磁場中，發現電子流向上極板偏轉。設兩極板間電場強度為e，磁感應強度為b。如果要使電子沿直線從電場和磁場區域通過，只採取了以下措施，則其中可行的是 a 適當減小電場強度e b 適...
帶電粒子在洛倫茲力下的運動小結
基本知識 f qvb f洛方向 帶電粒子在磁場中的運動 只受洛倫茲力，一般都是勻強磁場，且粒子速度垂直於磁場。方法提示 題型主要有單個粒子的運動，和多個粒子的運動，多個粒子時一般分大小不同和速度不同兩種情況。解題關鍵是正確作出關鍵粒子的圓周運動的軌跡圓弧 找圓心 求半徑。例題 徑向射入 一圓形磁場半...
帶電粒子在磁場中運動受力題型分類 洛倫茲力
6 將傾角為 的光滑絕緣斜面放到乙個足夠大的勻強磁場中，磁場的方向垂直於紙面向裡，磁感應強度為b。乙個質量為m 帶電量為q的小物體在斜面上由靜止開始下滑 斜面足夠長 滑到某一位置離開斜面則物體帶 電荷 物體離開斜面時的速度為 物體在斜面上滑行的長度為 帶電粒子在單邊界磁場中的運動 7 如圖所示，x軸...