【熱身訓練】
1. 設是橢圓的上下兩頂點，是橢圓上異於的任一點，直線與軸相交於點求證：為定值 .
2. 平面直角座標系系xoy中，過橢圓m：＋＝1(a>b>0)右焦點的直線交m於a，b兩點，p為ab中點且op的斜率為，則橢圓m的方程為 .
【例題精講】
例1：已知橢圓，點，為座標原點．
（i）若是橢圓上任意一點，，求的值；
（ii）設是橢圓上的兩個動點，滿足，試**的面積是否為定值，說明理由．
變題1：橢圓上異於頂點的點，若是橢圓上異於任意一點，滿足，且，求的值.
變題2：如圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足:,其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點,使得為定值？若存在，求出的座標；若不存在，請說明理由.
變題3：已知橢圓，設是橢圓上異於頂點的兩個動點，且的面積是1，試**是否為定值．
【課後練習】
1. 設點p是橢圓上的任意一點(異於左,右頂點a,b)，直線分別交直線與點m,n，求證:.
2.如圖，在平面直角座標系中，設點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交於點，直線的斜率分別記為.
（1）若圓與軸相切於橢圓的右焦點，求圓的方程；
（2）若.
①求證：；②求的最大值；③試**是否為定值..
【熱身訓練】
1. 設是橢圓的上下兩頂點，是橢圓上異於的任一點，直線與軸相交於點求證：為定值
2. 平面直角座標系系xoy中，過橢圓m：＋＝1(a>b>0)右焦點的直線交m於a，b兩點，p為ab中點且op的斜率為，則橢圓m的方程為
【例題精講】
例1：已知橢圓，點，為座標原點．
（i）若是橢圓上任意一點，，求的值；
（ii）設是橢圓上的兩個動點，滿足，試**的面積是否為定值，說明理由．
解：（ⅰ），得
，，即（ii）（解法一）由條件得，，平方得, 即
=故的面積為定值
（解法二）當直線的斜率不存在時，易得的面積為
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由，可得，
又，可得
因為，點到直線的距離
綜上：的面積為定值2
變題1：橢圓上異於頂點的點，若是橢圓上異於任意一點，滿足，且，求的值.
解：設，
由，有，
因為是橢圓上任意一點，所以有，
即因為橢圓上異於頂點的點，所以，
所以，因為，所以，
因為橢圓上異於頂點的點，所以，所以，
所以，即.
變題2：如圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足:,其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點,使得為定值？若存在，求出的座標；若不存在，請說明理由.
解：（1）由，＝2，解得，，
故橢圓的標準方程為.
（2）設,則由,
得，因為橢圓上的點，所以，
故因為直線與的斜率之積為，即，也即，
所以，所以，即，
所以點是橢圓上的點．設該橢圓的左、右焦點為，
則由橢圓的定義有為定值，又因為，
因此兩定點的座標為．
變題3：已知橢圓，設是橢圓上異於頂點的兩個動點，且的面積是1，試**是否為定值．
解：當直線的斜率不存在時，設,則可得的面積為，所以，即，
所以，當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由，可得，
因為，點到直線的距離
可得，所以，
綜上：為定值．
1. 設點p是橢圓上的任意一點(異於左,右頂點a,b)，直線分別交直線與點m,n，求證:.
證明：設則，，所以，
設，則，
所以，即
2.如圖，在平面直角座標系中，設點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交於點，直線的斜率分別記為.
（1）若圓與軸相切於橢圓的右焦點，求圓的方程；
（2）若.
①求證：；②求的最大值；③試**是否為定值.
解：（1）因為橢圓右焦點的座標為，所以圓心的座標為，
從而圓的方程為
（2）①因為圓與直線相切，所以，
即同理，有，
所以是方程的兩根，
從而②設點，聯立，解得，
同理，，所以，
當且僅當時取等號. 所以的最大值為.
③由②有所以
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