多元函式的積分學
（一）二重積分
1．二重積分的計算：將二重積分化為二次積分或累次積分來計算。（掌握）
（1）利用直角座標系計算：面積元素
1）為型：，則（先後）
特點：平行於軸的直線穿過時與各有乙個交點。
2）為型：，則（先後）
特點：平行於軸的直線穿過時與各有乙個交點
3）如果區域既是型又是型，可根據的形狀及被積函式的特點，選擇較為方便的方法計算。
（2）利用極座標系計算：面積元素：；
1）直角座標與極座標的關係：，
2）二重積分在極座標下的表示式：
3）根據極點在區域的位置得如下極座標下的二次積分表示式：
● 極點在外：
， ● 極點在的邊界上：
● 極點在的內部：
2．二重積分的幾何應用
計算曲頂柱體的體積：（掌握）
以區域為底，曲面為頂，側面為以的邊界為準線母線平行於軸的柱面的曲頂柱體的體積
（二）三重積分
1. 三重積分計算：化為三次積分計算
1）利用直角座標計算（掌握）
● 投影法（先一後二法）
設在面上投影區域為，
a. 若：， 則=
b. 若：，則=
2）截面法（先二後一法）
設立體介於平面之間（），過點（）作垂直於軸的平面與立體相截得一截面，於是區域： =，
此時有： =。
注：當僅是的一元函式，而的面積又容易計算時，可使用此方法簡化計算。
（2）利用柱面座標計算（掌握）
1）空間點的直角座標和柱面座標的關係：
其中2）體積微元：
3）計算：
2．三重積分的應用
計算空間立體的體積：，其中空間立體。（掌握）
（三）曲線積分
1．對弧長的曲線積分計算方法： （了解）
1），則
；2），則；
3），則。
2．對座標的曲線積分計算方法： （掌握）
設，則注意：對應於的起點，對應於的終點；
3. 格林公式及應用（掌握）
1）格林公式：設閉區域由光滑或分段光滑的曲線圍成，函式在上具有一階連續偏導，則有：，其中是的正向邊界曲線。
4. 曲線積分與與路徑無關（掌握）
曲線積分與路徑無關在內恆成立
設曲線與是單連通區域內起點為、終點為的任意兩條有向曲線，
注：如果與路徑無關，則可選擇積分方便的路徑來計算積分值。一般選擇平行於座標軸的折線。
（四）曲面積分
1．對面積的曲面積分計算方法：（了解）
1）曲面的方程為，為曲面在面上的投影區域，則
2）曲面的方程為，為曲面在面上的投影區域，則
3）曲面的方程為，為曲面在面上的投影區域，則
2．對座標的曲面積分計算方法： （掌握）
1）曲面的方程：，為曲面在面上的投影區域，則
，（上側取「+」，下側取「」）
（曲面上點的法向量與軸夾角為銳角，這一側作為上側，而另一側即為下側）；
2）曲面的方程：，為曲面在面上的投影區域，則
（前側取「+」，後側取「」）
（曲面上點的法向量與軸夾角為銳角，這一側作為前側，而另一側即為後側）；
3）曲面的方程為，為曲面在面上的投影區域，則
（右側取「+」，左側取「」）
（曲面上點的法向量與軸夾角為銳角，這一側作為右側，而另一側即為左側）；
3. 高斯公式（掌握）
1）高斯公式：設空間閉區域由光滑的曲面所圍成，函式
在上具有連續偏導數，則
其中是的整個邊界曲面的外側。
注：應用高斯公式可將沿著封閉的曲面積分化為曲面圍成區域上的三重積分，從而可簡化運算。
例1計算二重積分。其中d是第一象限中由直線和曲線所圍成的閉區域。
分析：由於的原函式不是初等函式，所以應採用先y後x的積分次序,而把d看成x型。
解： 例2（a卷計算題）設函式連，且。其中d是由直線x=1,y=0和拋物線所圍成的區域。求
解：設兩端關於區域d求二重積分，得，又
，則。例3 求由曲面與曲面所圍成立體的體積。
解：設立體在xoy面上的投影為，則
。例4 計算，其中：由錐面與平面所圍成。（a 卷計算題）
解：例5已知曲線積分與路徑無關，則
；（a卷填空題）
解： 例6 計算，其中是的右半圓周從到的一段弧。（a卷計算題）
解：，新增直線，構成封閉曲線，則 ，
而，所以。
例7計算，其中是曲線上由到的一段弧。
解： 。
例8 計算，其中：柱面被截下的第一卦限內的部分（取前側）。（a卷計算題）
解：，，
， 所以。
例9計算，其中：柱面被所截部分的外側 。
解：由於不封閉，故不能直接用高斯公式。現添兩張面：
取下側 ，取上側，就構成封閉曲面且取外側 。於是
。又， 故＝－＝。
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