第九講: 三角函式的化簡與求值
一、知識要點
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)c(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)c(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)s(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)s(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)t(α＋β)：tan(α＋β)＝；
(6)t(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)s2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)c2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)t2α：tan 2α＝.
3．有關公式的逆用、變形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．函式f(α)＝acos α＋bsin α(a，b為常數)，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定．
二、方法點撥
三角變換是運算化簡過程中運用較多的變換, 也是歷年高考命題的熱點. 提高三角變換能力, 要學會設定條件, 靈活運用三角公式, 掌握運算、化簡的方法和技能.常用的數學思想方法技巧如下:
1. 角的變換: 在三角化簡、求值、證明中, 表示式往往出現較多的相異角, 可根據角與角之間的和差、倍半、互補、互餘的關係, 運用角的變換, 溝通條件與結論中的差異, 使問題獲解.
對角的變形如下:
角的變換：β＝－；＝－,,
特別地,與為互餘角, 它們之間可以互相轉化, 在三角變形中使用頻率高.
2. 函式名稱變換: 三角變形中, 常常需要變函式名稱為同名函式. 如在三角函式中正余弦是基礎, 通常化切、割為弦, 變異名為同名.
3. 常數代換: 在三角函式運算、求值、證明中, 有時需要將常數轉化為三角函式值, 例如常數「1」的代換變形有:.
4. 冪的變換: 降冪是三角變換時常用方法, 對次數較高的三角函式式, 一般採用降冪處理的方法.
常用降冪公式有:等, 三角變換時, 有時需要公升冪, 如對無理式常用公升冪化為有理式, 公升冪公式與降冪公式是相對而言的.
5. 公式變形式: 根據式子的結構特徵進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：
「常值代換」、「逆用變用公式」、「通分約分」、「分解與組合」、「配方與平方」等．三角公式是變換的依據, 應熟練掌握三角公式的直接應用, 逆用以及變形式的應用. 如:等.
三、典型例題講解:
考點一、三角函式式的化簡
【例1】化簡.
三角函式式的化簡要遵循「三看」原則：
(1)一看「角」，通過看角之間的差別與聯絡，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看「函式名稱」，看函式名稱之間的差異，從而確定使用的公式；(3)三看「結構特徵」，分析結構特徵，找到變形的方向．
【訓練1】 化簡：.
考點二、三角函式式的求值
【例1】已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
訓練1】 已知α，β∈，sin α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
訓練2】已知cos(α-)+sinα=，則sin(α+π)的值是（ ）
訓練3】已知tan＝2，則的值為________
訓練4】已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值
考點三、三角函式的求角問題
【例1】已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.
通過求角的某種三角函式值來求角，在選取函式時，遵照以下原則：①已知正切函式值，選正切函式；②已知正、余弦函式值，選正弦或余弦函式；若角的範圍是，選正、余弦皆可；若角的範圍是(0，π)，選余弦較好；若角的範圍為，選正弦較好．
【訓練1】 已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩個根，求α＋β的值．
【訓練2】已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
考點四、 三角函式的綜合應用
【例1】設0<θ<，曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4個不同的交點。
（1）求θ的取值範圍；
（2）證明這4個交點共圓，並求圓半徑的取值範圍。
（1）解方程組，得；
故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，（0<θ<）0<θ<。
（2）設四個交點的座標為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cosθ∈（，2）（i=1，2，3，4）。
故四個交點共圓，並且這個圓的半徑r=cosθ∈（）.
高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函式性質中．需要利用這些公式，先把函式解析式化為y＝asin(ωx＋φ)的形式，再進一步討論其定義域、值域和最值、單調性、奇偶性、週期性、對稱性等性質．
【訓練1】 已知函式f(x)＝2sin(π－x)cos x.
(1)求f(x)的最小正週期；
(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值．
【訓練2】已知向量a＝(sin θ，－2)與b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值．
【訓練3】已知函式f(x)＝2cos 2x＋sin2x.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．練習1
a. 2bc. 4d.
2. 若則的值為
abcd. 1
3已知abcd.
4. 若均是銳角，且,與的關係是
a. bcd.
5. 化簡
a. 0bcd. 1
6. 已知且, 求的值．
abcd.
二. 填空題
1. 若則
2. 設為第四象限的角, 若, 則
3. 已知、均為銳角, 且則
4. 若, , 則
56．已知2005sin2α=sin2008°，則的值為________．
7．（2023年高考·浙江卷）已知sinθ+cosθ=，且≤θ≤，則cos2θ的值是
三. 解答題
1. 已知為第二象限的角, ,為第一象限的角, , 求的值.
2. 化簡:
.3.、已知, 求: (1)的值; (2)的值.
4、已知. (1) 求的值
(2) 求的值.
5. 已知向量, 和
且求的值.
6．已知函式．
（1）求f(x)的定義域；
（2）設α是第四象限的角，且tanα=-，求f()的值．
7．在△abc中，a、b、c分別為角a、b、c所對的邊長，a=, tan+tan=4, sinbsinc=cos2．求a、b及b、c．
8．已知a、b、c是△abc三內角，向量m=(-1,), n=(cosa, sina)，且m·n=1．
（1）求角a；（2）若，求tanc．
9．已知△abc的面積為3，且滿足0≤·≤6，設和的夾角為θ．
（1）求θ的取值範圍；
（2）求函式f(θ)=2sin2(+θ)- cos2θ的最大值與最小值．
三角函式的化簡 求值與證明
課題 三角函式的化簡 求值與證明 能正確地運用三角函式的有關公式進行三角函式式的求值，能正確地運用三角公式進行三角函式式的化簡與恒等式的證明 熟練地運用三角公式進行化簡與證明 有關公式的靈活應用及一些常規技巧的運用 1 三角函式式的化簡 1 常用方法 直接應用公式進行降次 消項 切割化弦，異名化同名...
三角函式的化簡 求值與證明
一 知識回顧 1 三角函式式的化簡 1 常用方法 直接應用公式進行降次 消項 切割化弦，異名化同名，異角化同角 三角公式的逆用等。2 化簡要求 能求出值的應求出值 使三角函式種數盡量少 使項數盡量少 盡量使分母不含三角函式 盡量使被開方數不含三角函式 2 三角函式的求值型別有三類 1 給角求值 一般...
三角函式的化簡 求值 證明
一 基本概念及知識體系 三角函式的化簡 化同名 化同次 化同角。注意切化弦 公升冪 降冪，1 sin2 cos2 tan,sin 2 三角函式的給值求角和給角求值 證明 二 典例剖析 例1.化簡 點滴收穫 例2.已知函式。求的值 求的最大值和最小值。點滴收穫 例3.已知函式 求函式的最小正週期 求函...