b題快遞公司送貨策略
摘要本文主要解決快遞公司送貨策略問題，研究在各種運貨地點，重量的確定，業務員的運輸條件和工作時間等各種約束條件下，設計最優的路線，得出最優送貨策略。主要研究如下三個問題。
問題一：首先考慮在時間和重量兩個約束條件之下，優先考慮重量，通過對送貨點的分布進行分析，將分布點按照矩形，弧形和樹的理念將問題分成三種模組，從而建立三種送貨方案。方案一，運用矩形，將整個區域分成5個區域，以選擇的點的送貨質量之和小於25kg且距離盡可能小的點的集合作為乙個區域。
依次來分配業務員的送貨地點。方案二，運用弧形，以原點為圓心畫同心圓，按照就近原則確定送貨區域，依次分配業務員的送貨地點。方案三，運用dijkstra 演算法計算出每乙個頂點到其它點的距離。
分析點的分布，由此得到最小樹，在最小樹的基礎上，向四周延伸，得到相應區域。且以送貨質量小於25kg且距離盡可能小的點的集合作為乙個區域。依次來分配業務員的送貨地點。
其次，再綜合這三種方案所涉及到得時間，路程依次進行對比，畫出柱形圖，清晰可得出最優的方案為方案三。
問題二，是解決送貨總費用最小的問題。因此要求業務員的執行路線要盡量短，且盡早卸貨。首先將該區域安排送貨點均勻度分為三個小區域，以每個點的信件質量從小到大排列，以送貨點最大點為中心，選擇該點附近質量較大且距離較短原則的下乙個送貨點，依次類推，直到根據約束條件為每次攜帶的快件量不超過25kg，找到該條路線最後乙個送貨點。
按此方法可得路線為01012110，0714270，0126280，01319250，0251617→0，0221529→30→0，062018→24→0，0438→9→21→23→0，並且利用c語言程式設計（見附錄），算得每條路線的費用，所得總費用為14636.1元。
問題三，在問題一的基礎上，將業務員的工作時間延長到8小時，由此在問題一的基礎上，將8小時的工作時間所需花費的費用在三個方案中進行對比，由此得到依舊是方案三的為最優。
關鍵字： 規劃模型 floyd演算法最小生成樹 matlab
一、問題重述：
目前，快遞行業正蓬勃發展，為我們的生活帶來更多方便。一般地，所有快件到達某地後，先集中存放在總部，然後由業務員分別進行派送；對於快遞公司，為了保證快件能夠在指定的時間內送達目的地，必須有足夠的業務員進行送貨，但是，太多的業務員意味著更多的派送費用。
假定所有快件在早上7點鐘到達，早上9點鐘開始派送，要求於當天17點之前必須派送完畢，每個業務員每天平均工作時間不超過6小時，在每個送貨點停留的時間為10分鐘，途中速度為25km/h，每次出發最多能帶25千克的重量。為了計算方便，我們將快件一律用重量來衡量，平均每天收到總重量為184.5千克，公司總部位於座標原點處（如圖2），每個送貨點的位置和快件重量見下表，並且假設送貨執行路線均為平行於座標軸的折線。
（1）請你運用有關數學建模的知識，給該公司提供乙個合理的送貨策略（即需要多少業務員，每個業務員的執行線路，以及總的執行公里數）；
（2）如果業務員攜帶快件時的速度是20km/h，獲得酬金3元/kmkg；而不攜帶快件時的速度是30km/h，酬金2元/km，請為公司設計乙個費用最省的策略；
（3）如果可以延長業務員的工作時間到8小時，公司的送貨策略將有何變化？
二、符號說明
三、模型假設
（1）假設以送貨執行路線均為平行於座標軸的折線而不是直線，類似計算也可同樣處理。
（2）運貨途中快件沒有任何損壞，並且業務員的運送過程也十分安全，沒有堵車、天氣等問題，即送貨過程非常順利。
（3）每個業務員每天的工作時間不超過6小時，第三問，則不超過8小時。
（4）快件一律用重量單位千克來衡量，平均每天收到總重量為184.5千克的貨物，且對體積沒有影響。
（5）各個業務員之間的快件運送過程是相互獨立的。
四、問題分析
1、問題
一、三：
針對問題一，三，使用相同的思路，即只要在分配人員的時間上做修改。
（1）對於時間和重量兩個約束條件，我們優先考慮重量；
（2）縱觀送貨點的分布，將分布點按照矩形、弧形及樹的理念三種方案，將重量之和接近25千克的分布點聯合起來；
（3）區域數===7.38，所以至少要有8個區域；
（4）計算出分割好的區域內業務員完成一次任務的時間之和，最後將滿足幾個區域的時間之和小於6小時（問題一）或者8小時（問題三）的區域的運送任務分派給同乙個業務員。
（5）對於假設一說明如下：
折線距離：已知兩點a(,)，b(,)，距離為橫座標之差的絕對值與縱座標之差的絕對值，即d(a,b為ab兩點之間的距離，在很多點的情況下，兩點間的直線距離也同時可以使用折線距離來表示，折線距離最短也就是直線距離的最短，為了方便計算也使用折線距離來表示本題中的直線距離。
1.1模型建立與求解：
兩質點的橫縱座標（，）各自的差的絕對值的和等價於兩質點之間的距離，
即兩點間距離：
d都是使用用excel得到的距離,即a矩陣（見附錄）
乙個區域所用時間為：
所用總時間：
方案一根據各個送貨點的分布，以矩形把整個區域分成5個區域，在區域或區域周圍找出送貨質量和小於25kg且距離盡可能小的點的集合，為乙個送貨區域，由一位業務員負責送貨。由此，畫出的送貨區域為下圖1-1：
圖1-1
然後連成折線距離的如下圖1-2
圖1-2
業務員的送貨路線、送貨區域、送貨的路程及時間（通過excel可得）、如下表1-3：
表1-3
方案二以原點為圓心畫同心圓，以乙個圓內或圓周周圍的點為一片，找出送貨質量和小於25kg且距離盡可能小的點的集合，為乙個送貨區域，由一位業務員負責送貨。由此，畫出的送貨區域為下圖1-4：
圖1-4
連成折線距離的圖1-5如下
圖1-5
則業務員的送貨路線、送貨區域、送貨的路程及時間（通過excel可得）如下表1-6：
表1-6
方案三計算賦權圖中各對頂點之間最短路徑，顯然可以呼叫floyd 演算法。
具體方法是：
每次以不同的頂點作為起點，用floyd 演算法求出從該起點到其餘頂點的最短路徑，反覆執行n 1次這樣的操作，就可得到從每乙個頂點到其它頂點的最短路徑。這種演算法的時間複雜度為o()。第二種解決這一問題的方法是由floyd r w 提出的演算法，稱之為floyd 演算法。
假設圖g 權的鄰接矩陣為
其中對於無向圖， 是對稱矩陣，。
floyd 演算法的基本思想是：遞推產生乙個矩陣序列其中矩陣的第i行第j列元素表示從頂點到頂點的路徑上所經過的頂點序號不大於k 的最短路徑長度。
計算時用迭代公式：
，k 是迭代次數，。
最後，當k = n時，即是各頂點之間的最短通路值。
許多應用問題都是求最小生成樹問題。就像此模型中需要求解最小費用問題，該費用涉及到路程和載重量，所以如何設計優化的路程是相當重要的。因此運用最小生成樹中的floyd演算法以此算出路線。
以找出所有點所形成的圖中找距離最小的最小樹，並在最小數的基礎上，向周圍延伸，找出送貨質量和小於25kg且距離盡可能小的點的集合，為乙個送貨區域，由一位業務員負責送貨。最小樹是由matlab計算得到的，可以保證是最小樹。
通過matlab得出的最小樹b矩陣(見附錄)，轉換為影象連線在一起為轉化成直角座標系中的最小樹為如圖1-7：
圖1-7
在此最小樹的基礎上劃出的送貨區域為如圖1-8：
圖1-8
則業務員的送貨路線、送貨區域、送貨的路程及時間（通過excel可得）如下表1-9：
表1-9
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